Innere Formänderungsarbeit

Innere Formänderungsarbeit ist die im verformten Körper gespeicherte, durch die Formänderung infolge der äußeren Kräfte zugeführte Energie.

Der Energiesatz der Mechanik besagt:

Wir unterscheiden allgemein vollkommen elastische, teil-elastische und vollkommen unelastische Körper voneinander.

Vollkommen elastisch bedeutet, dass sich die Verformung nach Wegnahme der äußeren Belastung wieder vollständig zurückbildet. Unelastisch bedeutet, dass sich die Verformung nach Wegnahme der äußeren Belastung nicht vollständig zurückbildet. Der Köper verbleibt teilweise bzw. vollständig im verformten Zustand. Ersteres bezeichnet man als teil-elastisch, hier bildet sich der Körper nur teilweise zurück, der andere Teil bleibt verformt. Letzteres bezeichnet man als vollkommen unelastisch. Der Körper bildet sich nicht mehr zurück und bleibt vollständig im verformten Zustand:

Unterscheidung hinsichtlich Elastizität

Wird also Formänderungsarbeit an einem Körper verrichtet, so wird diese im Körper als innere Formänderungsenergie gespeichert. Wir nehmen dabei an, dass die gesamte zugeführte Formänderungsarbeit in Formänderungsenergie umgewandelt wird, d. h. bei der späteren Entlastung (Wegnahme der äußeren Belastung) wandelt sich die gespeicherte Formänderungsenergie wieder vollständig in Arbeit um, welche dann vom Körper verrichtet wird. Der Körper ist demnach vollkommen elastisch und nimmt wieder seinen Ausgangszustand ein. Die äußere Formänderungsarbeit $W_a$ entspricht also der inneren Formänderungsenergie $\Pi$:

Die innere gespeicherte Formänderungsenergie $\Pi$ entspricht der von den Molekularbindungen des Körpers geleisteten negativen inneren Formänderungsarbeit $W_i$:

und damit gilt:

Die innere Formänderungsarbeit $W_i$ ist dabei die Arbeit, welche von den inneren Kraftgrößen geleistet wird.

Innere Kraftgrößen

Im Kurstext Innere Kraftgrößen haben wir bereits die Schnittgrößen kennengelernt, welche bei einem Schnitt durch den Körper sichtbar werden. Wir haben die Schnittgrößen ($N$, $Q$ und $M$) als innere Kraftgrößen bezeichnet.

Für die Abgrenzung zwischen den von außen auf den Körper wirkenden Kräften und den Kräften an der Schnittfläche des Körpers war die Bezeichnung der Schnittgrößen als innere Kraftgrößen zulässig.

Wir wollen nun aber die innerhalb des Bauteils auftretenden Kräfte, also die Molekularbindungen im Material, betrachten und werden diese als innere Kraftgrößen bezeichnen. Die Schnittgrößen hingegen stellen in diesem Fall äußere Kraftgrößen dar, weil sie an den äußeren Schnittflächen wirken. 

Aus Gleichgewichtsgründen entsprechen die inneren Kraftgrößen ($N_i$, $Q_i$, $M_i$) im Körperinneren dem Betrag der Schnittgrößen ($N$, $Q$, $M$), wirken aber genau entgegengesetzt:

Innere Kraftgrößen und Schnittgrößen

Die inneren Kraftgrößen (in grau eingezeichnet) stellen die Molekularbindungen im Material dar. Werden am betrachteten Körper äußeren Kräfte angebracht, dann verschiebt/verformt sich der Körper, die äußeren Kraftgrößen verschieben sich und leisten äußere Formänderungsarbeit, die als Formänderungsenergie im Körper gespeichert wird. Infolge der Verschiebung/Verformung des Körpers verschieben sich auch die inneren Kraftgrößen und es wird innere Formänderungsarbeit geleistet. Die innere Formänderungsarbeit entspricht der im Körper gespeicherten negativen inneren Formänderungsenergie. Denn bei Wegnahme der äußeren Belastung rücken die Molekularbindungen wieder in ihre Ausgangslage zurück (vollkommen elastischer Körper) und geben damit Energie frei, welche wieder in äußere Formänderungsarbeit ungewandelt wird. 

In diesem Kurs behandeln wir nur vollkommen elastische Körper. Das bedeutet, dass sich die Verformung nach Wegnahme der äußeren Belastung wieder vollständig zurückbildet. Die von außen zugeführte Formänderungsarbeiten werden also vollständig in Formänderungsenergie umgewandelt und umgekehrt. Wir unterscheiden in den folgenden zwei Abschnitten die innere Eigenarbeit und die innere Verschiebungsarbeit voneinander, die beide zusammen die innere Formänderungsarbeit ergeben.