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Baustatik 1 - Bestimmung der Unbekannten

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Baustatik 1

Bestimmung der Unbekannten

Beide virtuellen horizontalen Verschiebungen sind nun bestimmt, jedoch gilt die Verschiebung des Einheitszustandes nur für eine Einheitskraftgröße „1“. Sie muss jetzt mit einem Faktor so multipliziert werden, dass die Summe beider horizontalen Verschiebungen Null ergibt. Das ist zulässig, da das linear-elastische Materialgesetz (Hooke’sche Gesetz) gilt und eine Superposition erlaubt.

Anders: Die Verschiebung im 1-System muss genau so groß sein, wie die Verschiebung im 0-System. Die entfernte Auflagerkraft $A_h$ (1-System) muss also die Verschiebung im 0-System rückgängig machen, damit das Ausgangssystem am Ende keine Verschiebung im Lager $A$ aufweist.

Die entfernte Auflagerkraft $A_h$ wurde zunächst als Einheitsgröße in das 1-System eingetragen ($X_1 = 1$). Die tatsächliche Größe müssen wir nun ermitteln, indem wir die Summe der Verschiebungen gleich Null setzen. Dabei berechnen wir dann den tatsächlichen Wert von $X_1 = A_h$.

Es gilt die Gleichung für die Superposition der Verschiebungen:

Methode

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$d_i = \sum_{j = 1}^n d_{ij} \cdot X_j + d_{i0} = 0$


In unserem Beispiel:

Methode

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$d_1 = d_{11} \cdot X_1 + d_{10} = 0$

Die obige Gleichung besagt, dass die Verschiebung $d_1$ im Ausgangsystem an der Stelle 1 gleich Null sein muss. Die Verschiebungen an der Stelle 1 im 0-System und im 1-System müssen also in Summe null ergeben. Mit dieser Bedingung kann die Auflagerkraft $X_1 = A_h$ berechnet werden. 

Einsetzen der Verschiebungen:

$\frac{8}{20.000} \cdot X_1  - \frac{1}{20.000} \cdot 106,67 = 0$ 


Mit $ 20.000$ multiplizieren und es verbleibt:

$8 \cdot X_1 - 106,67 = 0$ 

Auflösen nach der Unbekannten $X_1$:

Methode

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$X_1 = \frac{106,67}{8} = 13,334 kN$


Es ist also eine horizontale Auflagerkraft $A_h$ vom Betrag $13,33 kN$ in der angegebenen Richtung (nach rechts gerichtet) erforderlich, damit die horizontale Verschiebung am Lager $A$ zu Null wird. Resultiert hingegen ein negativer Wert, so wirkt die Kraft entgegen der angenommenen Richtung.