Probeklausur 1

Aufgabe 1:

Gegeben ist das in der Abbildung gezeigte Fachwerk.

Material- und Querschnittswerte:

Stäbe $1, 2$ und $3$: $EA_1 = 400.000 kN$

Stäbe $4, 5, 6$ und $7$: $EA_2 = 2 EA_1$

Stab $2$: $\alpha_T = 1,2 \cdot 10^{-5} K^{-1}$

a.) Bestimmen Sie den Grad der innerlichen und der äußerlichen statischen Unbestimmtheit.

b.) Bestimmen Sie alle Stabkräfte mithilfe des Kraftgrößenverfahrens. Geben Sie diese in einer Tabelle an.

Lösung zu Aufgabenteil a.)

$a_a = 4 - 3 = 1$

$a_i = 18 - 3 \cdot (7 - 1) = 0$

Lösung zu Aufgabenteil b.)

Nullzustand ($X_1 = 0)$:

$A_V = 26\frac{2}{3} kN$

$B_H = -40 kN$

$B_V = 53\frac{1}{3} kN$

Einheitszustand ($X_1 = 1):$

$A_V = \frac{1}{3}$

$B_H = -1$

$B_V = -\frac{1}{3}$

	$S_1$	$S_2$	$S_3$	$S_4$	$S_5$	$S_6$	$S_7$
$N_0$	$-59,63$	$53,33$	$53,33$	$-40,00$	$-29,81$	$75,43$	$53,33$
$N_1$	$-0,745$	$-0,333$	$-0,333$	$-1,000$	$0,745$	$-0,471$	$-0,333$
$N_0$	$4,47$	$4,00$	$2,00$	$2,00$	$4,47$	$2,83$	$4,00$
$N_0 \cdot N_1 \cdot l$	$198,57$	$-70,4$	$-35,55$	$80,00$	$-99,27$	$-100,47$	$-71,11$
$N_1 \cdot N_1 \cdot l$	$2,48$	$0,44$	$0,22$	$2$	$2,48$	$0,627$	$0,44$
$N_{end}$	$-26,11$	$45,95$	$46,03$	$-62,12$	$-13,33$	$65,01$	$46,03$

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Aufgabe 2:

Gegeben ist das abgebildete statische System. Das System wird beansprucht durch eine konstante Streckenlast, eine horizontale Lagerverschiebung $u_B$ und eine ungleichmäßige Temperaturlast $\Delta T$ im Stab $2$.

Material- und Querschnittswerte:

Alle Stäbe: $EA = GA_s = \infty$

Stäbe $1,3$ und $4$: $EI_1 = konst = 45.000 kNm^2$

Stab $2$: $EI_2 = konst = 30.000 kNm^2$

$h = 0,3 m$, $\alpha_T = 1,2 \cdot 10^{-5} K^{-1}$, Rechteckquerschnitt

Feder: $c_F = 20.000 \frac{kN}{m}$

a.) Bestimmen Sie mithilfe des Kraftgrößenverfahrens den Biegemomentenverlauf sowie den Querkraftverlauf und stellen Sie diese grafisch dar. Geben Sie dabei die Werte an den maßgebenden Stellen an.

b.) Bestimmen Sie die vertikale Absenkung $w_m$ an der Stelle „m“.

Lösung zu Aufgabenteil a.) Schnittgrößenverläufe

1) $a_{ges} = 4 - 3 = 1$

2) Statisch bestimmtes Hauptsystem:

3) Nullzustand ($X_1 = 0$):

$A_V = 210,9375 kN$

$B_H = 0$

$B_V = 14,0625 kN$

$M_0 [kNm]$

4) Einheitszustand ($X_1 = 1$):

$A_V = 0$

$B_H = -1$

$B_V = 0$

$M_1$

5) Flexibilitätszahlen

$EI_c \cdot \delta_{10} = -822,28$

$EI_c \cdot \delta_{11} = 140,92$

$\Rightarrow X_1 = 5,835$

6) Endzustand

$A_H = 5,835 kN$

$A_V = 210,9375 kN$

$B_H = -5,835$

$B_V = 14,0625 kN$

$M_{end} [kNm]$

$Q_{end} [kN]$

Lösung zu Aufgabenteil b.)

1) Hauptsystem und Belastung

2) Schnittgrößenverlauf infolge $\bar{1}$-Last

$\bar{M}_0$

3) Lösung

$\delta_v = 8,39 mm$

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Aufgabe 3:

Gegeben ist das abgebildete symmetrische statische System.

$EA = GA_s = \infty$

$EI = konst$

a.) Teilen Sie die Belastungen in einen symmetrischen und einen antimetrischen Lastfall auf und skizzieren Sie diese am Gesamtsystem.

b.) Geben Sie das halbe Ersatzsystem jeweils für den symmetrischen und den antimetrischen Lastfall an.

c.) Bestimmen Sie den Grad der statischen Unbestimmtheit für das Gesamtsystem und die beiden Ersatzsysteme.

d.) Bestimmen Sie am halben Ersatzsystem und am Gesamtsystem mithilfe des Kraftgrößenverfahrens den Biegemomentenverlauf und den Querkraftverlauf für den antimetrischen Lastfall. Stellen Sie anschließend diese Verläufe mit allen relevanten Werten grafisch dar.

Lösung zu Aufgabenteil a.) Symmetrischen und antimetrisches System

1) Symmetrischer Lastfall

2) Antimetrischer Lastfall

Lösung zu Aufgabenteil b.) Ersatzsysteme

1) Symmetrisches Ersatzsystem

2) Antimetrisches Ersatzsystem

Lösung zu Aufgabenteil c.) statische Unbestimmtheit

$a_{sym} = 4 + 4 - 2 \cdot 3 = 2$

$a_{anti} = 3 + 4 - 2 \cdot 3 = 1$

$a_{ges} = 4 + 8 - 3 \cdot 3 = 3$

Lösung zu Aufgabenteil d.) antimetrischer Lastfall

1) $a_{anti} = 1$

2) Statisch bestimmtes Hauptsystem

3) Nullzustand ($X_1 = 0$):

$A_H = -15 kN$

$A_V = 27 kN$

$C_V = 10 kN$

$M_0 [kNm]$

4) Einheitszustand ($X_1 = 1$):

$A_H = 0$

$A_V = 0$

$C_V = 0$

$M_1$

5) Flexibilitätszahlen

$EI_c \cdot \delta_{10} = -327,695$

$EI_c \cdot \delta_{11} = 8,997$

$\Rightarrow X_1 = 36,423$

6) Endzustand

$A_H = -15 kN$

$A_V = 27 kN$

$C_V = 10 kN$

$M_{end} [kNm]$

$Q_{end} [kN]$

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Aufgabe 4:

Gegeben ist der abgebildete Trägerrost, der durch eine Gleichstreckenlast $q$ und eine Einzellast $F$ belastet wird.

a.) Bestimmen Sie den Grad der statischen Unbestimmtheit für den Sonderfall Trägerrost.

b.) Bestimmen Sie mithilfe des Kraftgrößenverfahrens den Biegemomentenverlauf sowie den Torsionsmomentenverlauf und stellen Sie diese mit allen relevanten Werten grafisch dar.

Material- und Querschnittswerte:

$E = 210.000 \frac{N}{mm^2}$

$G = 81.000 \frac{N}{mm^2}$

$I_y = 3.000 cm^4$

$I_T = 2.000 cm^4$

Annahme: $GA_s = \infty$

Lösung zu Aufgabenteil a.)

$a_{TR} = 2 + 2 - 1 \cdot 3 = 1$

Lösung zu Aufgabenteil b.) Kraftgrößenverfahren

1) Statisch bestimmtes Hauptsystem