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Äußere Kräfte führen zu inneren Spannungen im Tragwerk. Die Spannungen geben Aufschluss bezüglich der auftretenden Materialbelastung infolge der äußeren Kräfte. Dieses Wissen ist für die Bestimmung der Tragfähigkeit und der Dimensionierung eines Bauteils sehr wichtig.
In der obigen Abbildung erzeugt die Bahn, beim Befahren der Hochtrasse, Spannungen in den darunterliegenden Bauteilen infolge von wirkenden Gewichtskräften.
Merke
Spannungen innerhalb des Bauteils resultieren also aufgrund von äußeren Belastungen. Wir können hier zwei Spannungen voneinander unterscheiden, die Normalspannung $\sigma$ und die Schubspannung $\tau$.
Normalkraft
Um die Spannungen sichtbar zu machen, wird ein gedanklicher Schnitt durch das Bauteil durchgeführt. Wir betrachten zunächst die Normalspannungen:
Legen wir das obige $x,y,z$-Koordinatensystem zugrunde, so treten die Normalspannungen auf, wenn Kräfte in Richtung der $x$-Achse angreifen. Die Normalspannung $\sigma_x$ steht senkrecht auf der Querschnittsfläche und kann durch eine Spannungsresultierende zusammengefasst werden. Diese Spannungsresultierende ist die Normalkraft $N$:
Methode
$N = \sigma_x \cdot A$ Normalkraft
Die obige Gleichung wird herangezogen, wenn der Querschnitt des Bauteils über die gesamte Länge konstant ist. Ist der Querschnitt hingegen veränderlich, so muss die Berechnung mittels Integral erfolgen:
Methode
$N = \int_A \sigma_x \; dA$ Normalkraft bei veränderlichem Querschnitt
Querkraft
Als nächsten betrachten wir die Schubspannungen, welche auftreten, wenn äußere Kräfte in Richtung der $z$-Achse angreifen:
Die Schubspannung $\tau_{xy}$ liegt parallel zur Querschnittsfläche und kann durch eine Spannungsresultierende zusammengefasst werden. Diese Spannungsresultierende ist die Querkraft $Q$:
Methode
$Q = \tau_{xy} \cdot A$ Querkraft
Die obige Gleichung wird herangezogen, wenn der Querschnitt des Bauteils über die gesamte Länge konstant ist. Ist der Querschnitt hingegen veränderlich, so muss die Berechnung mittels Integral erfolgen:
Methode
$Q = \int_A \tau_{xy} \; dA$ Querkraft bei veränderlichem Querschnitt
Hinweis
Greift eine Kraft in $y$-Richtung an, so treten zusätzliche Schubspannungen in $y$-Richtung auf, welche parallel zur Querschnittfläche liegen. In diesem Kurs wollen wir aber nur die gerade Biegung um die $y$-Achse behandeln. Es greifen also keine Kräfte in $y$-Richtung an. Diese würden zu einer Biegung um die $z$-Achse führen.
Biegemoment
Eine weitere Resultierende ist das Moment $M$, welches um die $y$-Achse auftritt und berechnet wird zu:
Methode
$M = z \cdot \sigma_x \cdot A$ Moment
Bei veränderlichem Querschnitt wird das Moment $M$ berechnet zu:
Methode
$M = \int z \; \sigma_x \; dA$ Moment bei veränderlichem Querschnitt
Bei Betrachtung der $x,z$-Ebene werden die Schnittgrößen bei einem Schnitt durch das Bauteil wie folgt abgetragen:
Die Schnittfläche am linken Teilkörper wird als linkes Schnittufer bezeichnet, die Schnittfläche am rechten Teilkörper als rechtes Schnittufer. Nach dem Wechselwirkungsprinzip sind die Schnittgrößen für beide Schnittufer gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.
Es wird außerdem noch zwischen dem positiven und negativen Schnittufer unterschieden. Am positiven Schnittufer zeigen alle Schnittgrößen in positive Achsenrichtung bzw. drehen im positiven Drehsinn (Linksdrehung) um die Achsen. Betrachten wir also das obige $x,y,z$-Koordinatensystem, so ist das linke Schnittufer auch gleichzeitig das positive Schnittufer, weil die Normalkraft in positive $x$-Richtung zeigt. Die Querkraft in positive $z$-Richtung und das Moment in einer Linksdrehung (entgegen dem Uhrzeigersinn) um die $y$-Achse dreht. Ferner ist das rechte Schnittufer für das obige Koordinatensystem das negative Schnittufer.
Zusammenfassung Schnittgrößen
Für die gerade Biegung ergeben sich die Schnittgrößen zu:
Methode
$N = \int_A \sigma \; dA$
$Q = \int_A \tau \; dA$
$M = \int_A z \; \sigma \; dA$
Bei nicht veränderlichen Querschnitten, also bei konstanten Spannungen, vereinfachen sich die Formeln zu:
Methode
$N = \sigma \cdot A$
$Q = \tau \cdot A$
$M = z \sigma \cdot A$
Grundsätzlich sind nicht die Spannungen gegeben aus denen dann die Schnittgrößen berechnet werden sollen, sondern es werden die Schnittgrößen berechnet und daraus die Spannungen bestimmt. Die Vorgehensweise ist dann wie folgt:
Expertentipp
- Freischnitt
- Gegebenenfalls Kräftezerlegung durchführen
- Lagerkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen
- Schnitt(e) durch den Balken durchführen und Schnittgrößen abtragen (linkes oder rechtes Schnittufer).
- Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen.
- Sind dann die zulässigen Normalspannungen gegeben, so können aus den Schnittgrößen mittels der obigen Formel die tatsächlich auftretenden Spannungen berechnet und mit den zulässigen Spannungen verglichen werden.
In den folgenden zwei Videos wird gezeigt, wie die Schnittgrößen bestimmt werden, wenn eine rechteckige Streckenlast gegeben ist:
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