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Wir zeigen euch in diesem Abschnitt einige Beispiele zur Anwendung der Abzählformel für ebene Stabtragwerke.
Beispiel 1
Wir beginnen mit einem einfachen Beispiel. Wir wollen das obige System auf statische Bestimmtheit hin überprüfen. Dazu können wir zwei Abzählformeln heranziehen:
Methode
(1) $f = a + z - 3n$
(2) $f = a + 3 (p - k) - r$.
(1) Wir beginnen mit der oberen Abzählformel. Wir benötigen hier die Anzahl der Auflagerreaktionen, die Anzahl der Zwischenreaktionen und die Anzahl der Teilsysteme.
Ein Loslager überträgt eine Lagerreaktion. Wir haben drei Loslager gegeben und damit 3 Lagerreaktionen.
Ein Festlager übeträgt zwei Lagerreaktionen. Wir haben ein Festlager gegeben und damit 2 Lagerreaktionen.
Insgesamt ergeben sich also $ a = 5$ Lagerreaktionen.
Für die Zwischenreaktionen ist in diesem Beispiel nur das Gelenk relevant. Die Lager werden erst relevant, wenn mindestens zwei nicht starr miteinander verbundene Stäbe angeschlossen sind. Das Gelenk überträgt zwei Zwischenreaktionen, also genau zwei Gelenkreaktionen. Eine vertikale und eine horizontale Gelenkkraft. Es ergibt sich also $z = 2$.
Die Anzahl der Scheiben/Teilsysteme ist gegeben mit $n = 2$. Am Gelenk kann das System in zwei Teile zerlegt werden.
Insgesamt ergibt sich also:
Methode
$f = a + z - 3n = 5 + 2 - 3 \cdot 2 = 1$ statisch unbestimmt
(2) Als nächstes betrachten wir die zweite Abzählformel. Wir benötigen hier die Anzahl der Auflagerreaktionen, die Anzahl der Knotenpunkte, die Anzahl der Stabelemente sowie die Anzahl der Nebenbedingungen.
Die Anzahl der Auflagerreaktionen ist $a = 5$.
Die Anzahl der Knotenpunkte wird bestimmt, indem jeder Knoten betrachtet wird. Als Knoten gelten hierbei Gelenke, biegesteife Ecke sowie Auflagerpunkte und Endpunkte. In dem obigen Beispiel sind $k = 5$ Knotenpunkte gegeben.
Die Anzahl der Stabelemente zwischen den ermittelten Knotenpunkten beträgt $p = 4$.
Die Anzahl der Nebenbedingungen beträgt beim Gelenk $r = 1$.
Insgesamt ergibt sich:
Methode
$f = a + 3 (p - k) - r = 5 + 3 (4 - 5) - 1 = 1$
Beispiel 2
Dieses System ist in der Hinsicht ein wenig kniffliger, weil hier die Zwischenreaktionen nicht nur im Gelenk (links oben) sondern auch im Festlager (rechts unten) gegeben sind. Die Zwischenreaktionen für zwei in einem gelenkigen Lager verbundenen Stäbe ist nämlich $z = 2$,wenn die Stäbe nicht starr miteinander verbunden sind.
Genau so verhält es sich auch mit den Nebenbedingungen. Wir haben jetzt hier ebenfalls eine Nebenbedingung im Festlager rechts unten.
Es ergibt sich demnach:
Methode
$f = a + z - 3n = 5 + 4 - 3 \cdot 2 = 3$ statisch unbestimmt
Mit der alternativen Abzählformel erhalten wir:
Methode
$f = a + 3(p - k) - r = 5 + 3(4 - 4) - 2 = 3$
Beispiel 3
In der obigen Grafik ist ein Stabtragwerk gegeben. Wir erhalten mit den beiden Abzählformeln:
$f = a + z - 3n = 3 + 8 - 3 \cdot 4 = -1$ kinematisch (=verschieblich)
Bei dieser Abzählformel ist die Schwierigkeit, dass System in Teilsysteme zu zerlegen. Wir haben hier $n = 4$ Scheiben (Teilsysteme) gegeben. Wir können die Teilsysteme wie folgt bestimmen: Wir trennen das System an den Gelenken und schauen, wie viele Teilsysteme resultieren.
$f = a + 3(p - k) - r = 3 + 3(7 - 7) - 4 = -1$
Eine weitere Schwierigkeit ist die Bestimmung von $z$ und $r$. Man könnte meinen, dass der Stab in der Mitte mit den beiden Gelenken links und rechts Zwischenreaktionen von $z = 4$ und $r = 2$ je Gelenk ergeben. Es ist hier wichtig genau zu schauen, ob das betrachtete Gelenk zwei oder drei Stäbe einschließt:
Schließt das Gelenk also drei Stäbe ein (links in der Grafik) so ergeben sich $r = 2$ Nebenbedingungen und $z = 4$ Zwischenreaktionen (siehe vorherige Abschnitte). Verbindet das Gelenk zur zwei Stäbe (rechts in der Grafik) so ergeben sich $r=1$ und $z = 2$ Nebenbedingungen. In unserem Beispiel verbinden beide Gelenke je zwei Stäbe und damit tritt hier der rechte Fall für beide Gelenke ein.
Beispiel 4
Wir wollen das System wieder auf statische Bestimmtheit hin überprüfen:
$f = a + z - 3n = 7 + 16 - 3 \cdot 5 = 8$ statisch unbestimmt
Hier besteht wieder die Schwierigkeit die $n$-Teilsysteme zu identifizieren. Infolge der biegesteif angeschlossenen Stäbe in der Mitte ist das Grundgerüst fest und gilt als ein Teilsystem. Die Stäbe/Seile an dem Mast können hingegen als Teilsysteme von den Gelenken gelöst werden. Insgesamt entstehen so 5 Teilsysteme.
$f = a + 3(p - k) - r = 7 + 3 (13 - 10) - 8 = 8$
Hier besteht die Schwierigkeit darin die Knotenpunkte genau zu definieren.
Hinweis
Zwischen zwei Knotenpunkten muss sich immer ein Stabelement befinden.
Anwendung des Abzählkriteriums
Das Abzählkriterium ist notwendig, um das gegebene System auf statische Bestimmtheit hin zu überprüfen. Ergibt sich $f = 0$ nach dem Abzählkriterium, so kann das System trotzdem kinematisch (=verschieblich) sein.
Merke
Man sagt auch, dass Abzählkriterium ist die notwendige Bedingung zur Überprüfung auf statische Bestimmtheit.
Um eine genauere Aussage auf die statische Bestimmtheit hin angeben zu können, bedarf es der hinreichenden Bedingung. Hier kann z.B. der Polplan herangezogen werden, um die Verschieblichkeit des Systems auszuschließen.
