Satz von Castigliano

Eine Alternative zum Prinzip der virtuellen Kräfte ist der Satz von Castigliano. Dieser wird bei folgenden Problemstellungen angewendet:

• Bestimmung von Kräften an Punkten, an denen eine Verschiebung gegeben ist.
• Bestimmung von Momenten an Punkten, an denen eine Verdrehung gegeben ist.
• Bestimmung von Verschiebungen an Punkten, an denen eine äußere Kraft wirkt.
• Bestimmung von Verdrehungen an Punkten, an denen ein äußeres Moment wirkt.
• Sind keine Momente bzw. Kräfte an den Punkten der Verdrehung bzw. Verschiebung gegeben, so müssen Hilfsmomente $M_H$ bzw. Hilfskräfte $F_H$ eingeführt werden, welche nach der partiellen Ableitung Null gesetzt werden können.

Im Folgenden betrachten wir den 1. und 2. Satz von Castigliano und die notwendigen Gleichungen, um eine Aufgabe mithilfe dieses Satzes lösen zu können. An einem Beispiel zeigen wir euch, wie die Verschiebung in einem Punkt bei gegebener äußerer Kraft bestimmt wird sowie die Verschiebung in einem Punkt, wenn keine äußere Kraft gegeben ist. Für den letzteren Fall ist die Einführung einer Hilfskraft erforderlich. 

Voraussetzung für die Anwendung:

• linear-elastisches Materialverhalten
  ( Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes )
  
  
• keine Dehnungen infolge Temperaturänderungen

1. Satz von Castigliano

Mit dem 1. Satz von Castigliano lassen sich die Kräfte und Momente berechnen, die notwendig sind, um vorgegebene Verschiebungen und Verdrehungen zu verursachen.

Die partielle Ableitung der äußeren (oder negativ inneren) Eigenarbeit einer Kraftgrößengruppe nach einer Weggröße liefert die korrespondierende Kraftgröße.

2. Satz von Castigliano

Es ist häufiger der Fall, dass die Verschiebungen $\delta_i$ und die Verdrehungen $\varphi_i$ für vorgegebene Belastungen gesucht werden. Diese können mit dem 2. Satz von Castigliano berechnet werden.

Die partielle Ableitung der äußeren (oder negativ inneren) Eigenarbeit einer Kraftgrößengruppe nach einer Kraftgröße liefert die korrespondierende Weggröße.

Die innere negative Eigenarbeit kennen wir bereits aus dem Abschnitt innere Eigenarbeit:

Bildung der partiellen Ableitungen

In der Differentialrechnung ist eine partielle Ableitung die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen nach einer dieser Variablen. Die Werte der übrigen Variablen werden also konstant gehalten.

1. Satz von Castigliano:

Für  $- \frac{\partial W_i}{\partial \delta_i} = F_i$ erhalten wir die Kraft $F_i$ an der Stelle, an welcher die Verschiebung $\delta_i$ in Richtung der Kraft gegeben ist:

 
Für $- \frac{\partial W_i}{\partial \varphi_i} = M_i$ erhalten wir das Moment $M_i$, an der Stelle $i$ an welcher die Verdrehung $\varphi_i$ in Richtung des Moments gegeben ist:

2. Satz von Castigliano

Für $ - \frac{\partial W_i}{\partial F_i} = \delta_i$ erhalten wir die Verschiebung $\delta_i$ an einer Stelle, an welcher die Kraft $F_i$ in Richtung der Verschiebung wirkt:

Für $- \frac{\partial W_i}{\partial M_i} = \varphi_i$ erhalten wir die Verdrehung an der Stelle an welcher das Moment $M_i$ in Richtung der Verdrehung gegeben ist:

Vorgehensweise: Satz von Castigliano

Die Vorgehensweise beim Satz von Castigliano ist wie folgt:

1. Freischneiden des Tragwerkes
2. Bestimmung der Lagerreaktionen
3. Bestimmung der Schnittgrößenverläufe
4. Satz von Castigliano anwenden, um die unbekannte Kraft bzw. die unbekannte Verschiebung zu berechnen

Grundsätzlich tragen Normal- und Querkräfte ($N$, $Q$) neben dem Biegemoment $M$ zur inneren Formänderungsarbeit bei. Häufig werden diese aber gegenüber der Biegearbeit vernachlässigt. Deswegen ist es wichtig, sich die Aufgabenstellung genau durchzulesen. Stehen dort Sätze wie "Es sind ausschließlich die durch die Biegemomente hervorgerufenen Verformungen zu berücksichtigen" so muss im Punkt 3 nur der Biegemomentverlauf bestimmt werden. 

Zum weiteren Verständnis wird im Folgenden ein ausführliches Beispiel zur Anwendung des Satzes aufgezeigt. Hier wird, zusätzlich zur Verschiebung bei einer gegebenen Kraft, die Verschiebung durch Einführung einer Hilfskraft aufgezeigt.

Beispiel: Satz von Castigliano 

Beispiel: Satz von Castigliano

In diesem Beispiel berechnen wir die Verschiebung an einem Punkt, an den eine äußere Kraft $F$ in Richtung der Verschiebung wirkt sowie die Verschiebung an einem Punkt ($C$), an den keine äußere Kraft in Richtung der Verschiebung wirkt. 

Verschiebung des Lastangriffspunktes

Wir beginnen zunächst damit die vertikale Absenkung im Lastangriffspunkt zu bestimmen. Die Last $F$ wirkt in Richtung der gesuchten Verschiebung. 

1. Freischnitt

Freischnitt

2. Lagerreaktionen bestimmen

Im nächsten Schritt bestimmen wir die Lagerreaktionen aus den drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene.

(1) $\rightarrow : A_h + B_h = 0$

(2) $\uparrow : -A_v - F = 0$

(3) $\curvearrowleft A: - F \cdot a + B_h \cdot 3a = 0$

Aus (2) erhalten wir:

Aus (3):

Aus (1):

3. Momentenverlauf bestimmen

In der Aufgabenstellung wird explizit angegeben, dass die Verschiebung nur infolge der Biegebelastung berechnet werden soll. Demnach benötigen wir auch nur den Momentenverlauf. Infolge der Geometrie müssen wir drei Schnitte durchführen:

Durchzuführende Schnitte

Wir führen die Schnitte durch und tragen die Biegemomente an:

Biegemomente für die unterschiedlichen Schnitte

Die Berechnung ergibt sich mittels Momentengleichgewichtsbedingung. Der Bezugspunkt ist der Schnitt.

1. Schnitt: Wir betrachten das linke Schnittufer, an welchem das Biegemoment eine Linksdrehung aufweist. Die Balkenunterseite ist demnach dort, wo sich die Lager befinden. 

$\curvearrowleft : M_1 - A_h \cdot x_1 = 0$

Die Lagerkraft $A_v$ schneidet den Bezugspunkt (den Schnitt) und weist demnach keinen senkrechten Abstand und damit kein Moment auf. Die Lagerkraft $A_h$ weist den senkrechten Abstand $x$ auf. In Abhängigkeit davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird, ergibt sich demnach das Moment. Je weiter weg vom Lager $A$, desto größer das Moment, welches die Kraft $A_h$ ausübt. Das Moment ist negativ, weil $A_h$ den Balken in einer Rechtsdrehung um den Bezugspunkt (Schnitt) dreht. Wir lösen nach $M_{1}$ auf:

$M_1 = A_h \cdot x_1$

Einsetzen von $A_h$ führt auf:

Bei dem zweiten Schnitt verwenden wir das rechte Schnittufer, d. h. das Moment $M_2$ ist ein Rechtsdrehendes:

$\curvearrowleft : -M_2 - F \cdot x_2$

Auch für den dritten Schnitt verwenden wir das rechte Schnittufer mit einem rechtsdrehenden Moment $M_3$:

$\curvearrowleft : -M_3 + B_h \cdot x_3$

$M_3 = B_h \cdot x_3$

Einsetzen von $B_h = \frac{F}{3}$:

4. Satz von Castigliano anwenden

Wir berechnen als Nächstes die vertikale Verschiebung im Lastangriffspunkt, also dort wo die äußere Last $F$ angreift. Da die Last $F$ in Richtung der gesuchten Verschiebung gegeben ist, verwenden wir hierfür die folgende Formel:

$\delta_i  = \int [\frac{N}{EA} \cdot \frac{\partial N}{\partial F_i} + \frac{\kappa Q}{GA} \cdot \frac{\partial Q}{\partial F_i} + \frac{M_y}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_y}{\partial F_i} + \frac{M_T}{G I_P} \cdot \frac{\partial M_T}{\partial F_i}] dx$

Da nur die Verschiebung infolge der Biegebelastung gesucht wird, können wir die anderen Terme wegfallen lassen. Die Formel verkürzt sich demnach zu:

$\delta_i = \int  \frac{M_y}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_y}{\partial F_i}  dx$

Dabei ist $F_i $ die äußere Last $F$:

$\delta_F = \int \frac{M_y}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_y}{\partial F} dx$

Da wir hier 3 Biegemomentverläufe gegeben haben, müssen wir die Summe bilden:

$\delta_F = \sum_j \int \frac{M_{yj}}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_{yj}}{\partial F} dx_j$

Für die obige Formel benötigen wir noch die partiellen Ableitungen der Biegemoment $M_{yj}$ mit $j = 1,2,3$ nach der Kraft $F$.

$\frac{\partial M_{y1}}{\partial F} = -\frac{x_1}{3}$

$\frac{\partial M_{y2}}{\partial F} = -x_2$

$\frac{\partial M_{y3}}{\partial F} = \frac{x_3}{3}$

Nachdem wir die partiellen Ableitungen der Biegemomente bestimmt haben, können wir die Formel anwenden. Da $EI$ konstant ist, ziehen wir dieses vor das Integral:

$\delta_F = \frac{1}{EI_{yy}} \sum_j \int M_{yj} \cdot \frac{\partial M_{yj}}{\partial F} dx_j$

Wir stellen die Formel ohne Summenzeichen auf und erhalten:

$\delta_F = \frac{1}{EI_{yy}}  [\int M_{y1} \cdot \frac{\partial M_{y1}}{\partial F} dx_1 + \int M_{y2} \cdot \frac{\partial M_{y2}}{\partial F} dx_2 +  \int M_{y3} \cdot \frac{\partial M_{y3}}{\partial F} dx_3 ]$

Wir haben alle notwendigen Werte gegeben, um die Berechnung durchzuführen: 

$M_{y1} = M_1 = -\frac{F}{3} \cdot x_1$

$\frac{\partial M_{y1}}{\partial F} = -\frac{x_1}{3}$

$M_{y2} = M_2 = -F \cdot x_2$

$\frac{\partial M_{y2}}{\partial F} = -x_2$

$M_{y3} = M_3 = \frac{F}{3} \cdot x_3$

$\frac{\partial M_{y3}}{\partial F} = \frac{x_3}{3}$

Einsetzen führt auf:

$\delta_F = \frac{1}{EI_{yy}} [\int_0^a -\frac{F}{3} \cdot x_1 \cdot (-\frac{x_1}{3}) dx_1 + \int_0^a (-F) \cdot x_2 \cdot (-x_2) dx_2 + \int_0^{2a} \frac{F}{3} \cdot x_3 \cdot \frac{x_3}{3} dx_3 ]$

Zusammenfassen:

$\delta_F = \frac{1}{EI_{yy}} [\int_0^a \frac{F}{9} \cdot x_1^2 dx_1 + \int_0^a F \cdot x_2^2 dx_2 + \int_0^{2a} \frac{F}{9} \cdot x_3^2 dx_3 ]$

 
Integration:

$\delta_F = \frac{1}{EI_{yy}} [\frac{F}{27} \cdot a^3  +\frac{F}{3} \cdot a^3 + \frac{F}{27} \cdot (2a)^3 ]$

$\delta_F = \frac{F a^3}{EI_{yy}} [\frac{1}{27} +\frac{1}{3} + \frac{8}{27} ]$

$\delta_F = \frac{F a^3}{EI_{yy}} [\frac{2}{3}]$

Die vertikale Verschiebung im Lastangriffspunkt (dort wo die Last $F$ angreift) ist demnach bestimmt. Abhängig davon welche Werte $a$, $F$ und $EI$ annehmen.

Verschiebung des Punktes C

Danach berechnen wir die Horizontalverschiebung im Punkt $C$. Da im Punkt $C$ keine Kraft in Richtung der gesuchten Verschiebung gegeben ist, müssen wir eine Hilfskraft $F_H$ einführen.

Da die Horizontalverschiebung des Punktes $C$ gesucht wird, müssen wir eine horizontale Hilfskraft $F_H$ einführen:

Hilfskraft

Wir gehen nun wie bei der Verschiebung des Lastangriffspunktes vor, nur dass die Kraft $F_H$ berücksichtigt wird. Wir berechnen demnach die Lagerreaktionen, die Schnittgrößen und dann die Verschiebung mittels Satz von Castigliano.

1. Freischnitt

Der Freischnitt ist bereits in der Grafik visualisiert.

2. Lagerreaktionen

(1) $\rightarrow : A_h - F_H + B_h = 0$

(2) $\uparrow : -A_v - F = 0$

(3) $\curvearrowleft A : - F_H \cdot a + B_h \cdot 3a - F \cdot a = 0$

Aus (2):

Aus (3):

$B_h = \frac{F_H \cdot a + F \cdot a}{3a} $

Aus (1):

$A_h = F_H - B_h = F_H - (\frac{F_H}{3} + \frac{F}{3})$

$A_h = F_H - \frac{F_H}{3} - \frac{F}{3}$

3. Momentenverlauf bestimmen

In der Aufgabenstellung wird explizit angegeben, dass die Verschiebung nur infolge der Biegebelastung berechnet werden soll. Demnach benötigen wir auch hier nur den Momentenverlauf. Die Schnitte werden wie oben durchgeführt:

Biegemomente für die unterschiedlichen Schnitte

1. Schnitt:

$\curvearrowleft : M_1 - A_h \cdot x_1 = 0$

2. Schnitt:

$\curvearrowleft : -M_2 - F \cdot x_2$

3. Schnitt:

$\curvearrowleft : -M_3 + B_h \cdot x_3$

4. Satz von Castigliano anwenden

Auch hier suchen wir eine Verschiebung in Richtung der Kraft $F_H$. Wir verwenden dazu die Formel:

$\delta_i = \int \frac{M_y}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_y}{\partial F_i} dx$

Hier gilt $F_i = F_H$:

$\delta_C = \int \frac{M_y}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_y}{\partial F_H} dx$

Da wir hier 3 Biegemomentverläufe gegeben haben, müssen wir die Summe bilden:

Wir bilden als Nächstes die Ableitung des Biegemoments nach $F_H$:

$\frac{\partial M_{y1}}{\partial F_H} = \frac{2}{3} x_1$

$\frac{\partial M_{y2}}{\partial F_H} = 0$

$\frac{\partial M_{y3}}{\partial F_H} = \frac{x_3}{3}$

Nachdem wir die partiellen Ableitungen der Biegemomente bestimmt haben, können wir die Formel anwenden. Da $EI$ konstant ist, ziehen wir dieses vor das Integral:

$\delta_C = \frac{1}{EI_{yy}} \sum_j \int M_{yj} \cdot \frac{\partial M_{yj}}{\partial F_H} dx_j$

Wir stellen die Formel ohne Summenzeichen auf und erhalten:

$\delta_C = \frac{1}{EI_{yy}}  [\int M_{y1} \cdot \frac{\partial M_{y1}}{\partial F_H} dx_1 + \int M_{y2} \cdot \frac{\partial M_{y2}}{\partial F_H} dx_2 +  \int M_{y3} \cdot \frac{\partial M_{y3}}{\partial F_H} dx_3 ]$

Wir haben alle notwendigen Werte gegeben, um die Berechnung durchzuführen. Die Hilfskraft darf nach Durchführung der partiellen Ableitungen gleich Null gesetzt werden $F_H = 0$:

$M_1 =  - \frac{F}{3} \cdot x_1$

$\frac{\partial M_{y1}}{\partial F_H} = \frac{2}{3} x_1$

$M_2 = -F \cdot x_2$

$\frac{\partial M_{y2}}{\partial F_H} = 0$

$M_3 = \frac{F}{3} x_3$

$\frac{\partial M_{y3}}{\partial F_H} = \frac{x_3}{3}$

Einsetzen führt zu:

$\delta_C = \frac{1}{EI_{yy}} [\int_0^a - \frac{F}{3} \cdot x_1 \cdot \frac{2}{3} x_1 dx_1 + \int_0^{2a} \frac{F}{3} x_3 \cdot \frac{x_3}{3} dx_3 ]$

Der Term in der Mitte für $M_2$ entfällt, weil die partielle Ableitung Null ist.

Zusammenfassen:

$\delta_C = \frac{1}{EI_{yy}} [\int_0^a - \frac{2 F}{9} \cdot x_1^2 dx_1 + \int_0^{2a} \frac{F}{9} x_3^2  dx_3 ]$

Integration:

$\delta_C = \frac{1}{EI_{yy}} [ - \frac{2 F}{27} \cdot a^3  + \frac{F}{27} (2a)^3 dx_3 ]$

$\delta_C = \frac{F a^3}{EI_{yy}} [ - \frac{2}{27} + \frac{8}{27} ]$

$\delta_C = \frac{F a^3}{EI_{yy}} [ \frac{2}{9} ]$