Beispiel: Satz von Castigliano

Beispiel: Bestimmung der Verdrehung und der Verschiebung

Beispiel: Satz von Castigliano

1. Freischnitt:

Freischnitt

2. Lagerreaktionen bestimmen

$\rightarrow : A_h + F = 0$

$\uparrow : A_v = 0$

$\curvearrowleft A : -M_A + M - F \cdot a = 0$

3. Schnittgrößen bestimmen

Schnittgrößen

Wir betrachten zunächst das linke Schnittufer des 1. Schnittes und berechnen mittels Momentengleichgewichtsbedingung das Moment $M_1$. Der Bezugspunkt für die Momentenberechnung ist der Schnitt. Wir wählen für den 1. Schnitt die Laufkoordinate $x_1$.

$\curvearrowleft :  M_1 - M_A = 0$

Als Nächstes berechnen wir die Normalkraft $N_1$ mittels der horizontalen Gleichgewichtsbedingung:

$\rightarrow : N_1 + A_h = 0$

Wir betrachten den zweiten Schnitt und berechnen das Moment $M_2$. Hier betrachten wir das rechte Schnittufer, demnach muss das Moment $M_2$ als rechtsdrehendes Moment eingezeichnet werden:

$\curvearrowleft : -M_2 - F \cdot x_2 = 0$

Als Nächstes berechnen wir die Normalkraft $N_2$ mittels der vertikalen Gleichgewichtsbedingung:

$\uparrow : -N_2 = 0$

4. Satz von Castigliano anwenden:

Wir sollen hier eine Verschiebung und eine Verdrehung berechnen. Da in der Aufgabenstellung nur $EI$ und $EA$ angegeben sind, müssen wir auch nur die Terme für die Normalkraft und das Biegemoment berücksichtigen. Das bedeutet einfach, dass wir die Verschiebung und Verdrehung infolge der Biegebelastung $M$ und infolge der Normalbelastung $F$ berechnen.

Für $ - \frac{\partial W_i}{\partial F_i} = \delta_i$ erhalten wir die Verschiebung $\delta_i$ an einer Stelle, an welcher die Kraft $F_i$ in Richtung der Verschiebung wirkt:

$\delta_i = \int [\frac{N}{EA} \cdot \frac{\partial N}{\partial F_i} + \frac{\kappa Q}{GA} \cdot \frac{\partial Q}{\partial F_i} + \frac{M_y}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_y}{\partial F_i} + \frac{M_T}{G I_P} \cdot \frac{\partial M_T}{\partial F_i}] dx$

In unserem Fall erhalten wir die horizontale Verschiebung $\delta_C$ im Punkt $C$ an welchen die Kraft $F$ in Richtung der Verschiebung wirkt zu:

Außerdem wollen wir die Verdrehung im Punkt $B$ bestimmen.

Für $- \frac{\partial W_i}{\partial M_i} = \varphi_i$ erhalten wir die Verdrehung an der Stelle an welcher das Moment $M_i$ in Richtung der Verdrehung gegeben ist:

$\varphi_i = \int [\frac{N}{EA} \cdot \frac{\partial N}{\partial M_i} + \frac{\kappa Q}{GA} \cdot \frac{\partial Q}{\partial M_i} + \frac{M_y}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_y}{\partial M_i} + \frac{M_T}{G I_P} \cdot \frac{\partial M_T}{\partial M_i}] dx$

In unserem Fall erhalten wir die Verdrehung $\varphi_B$ im Punkt $B$ an welchen das Moment $M$ in Richtung der Verdrehung gegeben ist zu:

Da wir drei Schnittbereiche gegeben haben, muss den obigen Formeln noch ein Summenzeichen hinzugefügt werden, weil die Berechnung für jeden Schnittbereich separat vorgenommen wird und die Summe ergibt dann die Verschiebung im Punkt $C$

bzw. die Verdrehung im Punkt $B$

Bildung der partiellen Ableitungen für Verschiebung

Wir beginnen damit die partiellen Ableitungen zu bilden. Zunächst betrachten wir die partiellen Ableitungen für die Verschiebung im Punkt $C$. Dazu betrachten wir die Schnittgrößen für die Normalkraft und das Biegemoment und leiten diese nach der Kraft $F$ ab.

Normalkraft:

$\frac{\partial N_1}{\partial F} = 1$ 

$\frac{\partial N_2}{\partial F} = 0$  (keine Normalkraft im 2. Schnittbereich vorhanden)

Biegemoment:

$\frac{\partial M_{y1}}{\partial F} = -a$

$\frac{\partial M_{y2}}{\partial F} = -x_2$

Bildung der partiellen Ableitungen für die Verdrehung

Danach berechnen wir die partiellen Ableitungen für die Verdrehung im Punkt $B$. Auch hier werden die Schnittgrößen aus den zwei Bereichen herangezogen. Allerdings muss hier nach dem Moment $M$ abgeleitet werden.

Normalkraft:

$\frac{\partial N_1}{\partial M} = 0$

$\frac{\partial N_2}{\partial M} = 0$

Biegemoment:

$\frac{\partial M_{y1}}{\partial M} =1$

$\frac{\partial M_{y2}}{\partial M} = 0$

Bestimmung der horizontalen Verschiebung im Punkt C

Die partiellen Ableitungen für die Verschiebung werden in die Gleichung (1) eingesetzt:

$\delta_C = \sum_j \int [\frac{N_j}{EA} \cdot \frac{\partial N_j}{\partial F} + \frac{M_{yj}}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_{yj}}{\partial F} ] dx_j$

Wir entfernen das Summenzeichen und es ergibt sich:

$\delta_C = \int_0^{2a} [\frac{N_1}{EA} \cdot \frac{\partial N_1}{\partial F} + \frac{M_{y1}}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_{y1}}{\partial F} ] dx_1 + \int_0^a [\frac{N_2}{EA} \cdot \frac{\partial N_2}{\partial F} + \frac{M_{y2}}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_{y2}}{\partial F} ] dx_2 $

Da wir alle Ausdrücke gegeben haben, können wir diese nun in die Gleichung einsetzen:

$\delta_C = \int_0^{2a} [\frac{F}{EA} \cdot 1 + \frac{M - F \cdot a}{EI_{yy}} \cdot (-a) ] dx_1 + \int_0^a [\frac{0}{EA} \cdot 0+ \frac{- F \cdot x_2}{EI_{yy}} \cdot (-x_2) ] dx_2 $

Zusammenfassen:

$\delta_C = \int_0^{2a} [\frac{F}{EA} - \frac{Ma}{EI_{yy}} + \frac{F \cdot a^2}{EI_{yy}}] dx_1 + \int_0^a [\frac{ F \cdot x_2^2}{EI_{yy}}] dx_2 $

Integrale auf die Terme anwenden:

$\delta_C = \int_0^{2a} \frac{F}{EA} dx_1 - \int_0^{2a} \frac{Ma}{EI_{yy}} dx_1 + \int_0^{2a} \frac{F \cdot a^2}{EI_{yy}} dx_1 + \int_0^a \frac{ F \cdot x_2^2}{EI_{yy}} dx_2 $

Integration durchführen und Grenzen einsetzen:

$\delta_C = \frac{F}{EA} \cdot 2a - \frac{Ma}{EI_{yy}} \cdot 2a + \frac{F \cdot a^2}{EI_{yy}} \cdot 2a + \frac{ F \cdot a^3}{3 EI_{yy}}  $

Zusammenfassen:

$\delta_C = \frac{2 F a}{EA} - \frac{2 M a^2}{EI_{yy}} + \frac{2 F \cdot a^3}{EI_{yy}} + \frac{ F \cdot a^3}{3 EI_{yy}} $

$\delta_C = \frac{2 F a}{EA} - \frac{2 M a^2}{EI_{yy}} + \frac{7 F \cdot a^3}{3 EI_{yy}} $

Wir können nun die Verschiebung im Punkt $C$ berechnen. Dazu müssen wir die in der Aufgabenstellung gegebenen Einheiten gemäß SI-Einheiten umrechnen:

$F = 20.000 N$, $M = 15.000 Nm$

$E = 210.000 \cdot 1.000.000 Pa = 2,1 \cdot 10^{11} Pa$

$A = 390  \cdot 10^{-6} m^2 = 0,00039 m^2$

$\Rightarrow EA = 81.900.000 Pa m^2 = 81.900.000 \frac{kg}{m \cdot s^2} m^2 = 81.900.000 \frac{kg m}{s^2} = 81.900.000 N$

$I = (3 \cdot 10^{6}) \cdot 10^{-12} m^4 = 0,000003 m^4$

$\Rightarrow EI = 630.000 Pa m^4 = 630.000 \frac{kg}{m s^2} m^4 = 630.000 \frac{kg m^3}{s^2} = 630.000 N m^2$

$a = 400 \cdot 10^{-3} m  = 0,4 m$

Einsetzen:

$\delta_C = \frac{2 \cdot 20.000 N \cdot 0,4 m}{81.900.000 N} - \frac{2 \cdot 15.000 Nm \cdot (0,4m)^2}{630.000 \; N m^2} + \frac{7 \cdot 20.000 N \cdot (0,4m)^3}{3 \cdot 630.000 \; N m^2} $

$\delta_C = -0,00268 m = -2,68 mm$

Bestimmung der Verdrehung im Punkt B

Nachdem wir die Verschiebung im Punkt $C$ bestimmt haben, wollen wir als Nächstes die Verdrehung im Punkt $B$ berechnen.

Die partiellen Ableitungen für die Verdrehung sowie die Schnittgrößen werden in die Gleichung (2) eingesetzt:

$\varphi_B = \sum_j \int [\frac{N_j}{EA} \cdot \frac{\partial N_j}{\partial M} + \frac{M_{yj}}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_{yj}}{\partial M}] dx_j$

Wir entfernen das Summenzeichen und es ergibt sich:

$\varphi_B = \int_0^{2a} [\frac{N_1}{EA} \cdot \frac{\partial N_1}{\partial M} + \frac{M_{y1}}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_{y1}}{\partial M} ] dx_1 + \int_0^a [\frac{N_2}{EA} \cdot \frac{\partial N_2}{\partial M} + \frac{M_{y2}}{EI_{yy}} \cdot \frac{\partial M_{y2}}{\partial M} ] dx_2 $

Da wir alle Ausdrücke gegeben haben, können wir diese nun in die Gleichung einsetzen:

$\varphi_B = \int_0^{2a} [\frac{F}{EA} \cdot 0 + \frac{M - F \cdot a}{EI_{yy}} \cdot 1 ] dx_1 + \int_0^a [\frac{0}{EA} \cdot 0 + \frac{-F \cdot x_2}{EI_{yy}} \cdot 0 ] dx_2 $

Zusammenfassen:

$\varphi_B = \int_0^{2a} \frac{M - F \cdot a}{EI_{yy}} dx_1$

Integrale auf die Terme anwenden:

$\varphi_B = \int_0^{2a} \frac{M}{EI_{yy}} dx_1 - \int_0^{2a} \frac{F \cdot a}{EI_{yy}} dx_1$

Integrieren und Grenzen einsetzen:

$\varphi_B =  \frac{M}{EI_{yy}} \cdot (2a) - \frac{F \cdot a}{EI_{yy}} \cdot (2a) $

Zusammenfassen:

$\varphi_B = \frac{2 \cdot M \cdot a}{EI_{yy}} - \frac{2 \cdot F \cdot \cdot a^2}{EI_{yy}} $

Werte einsetzen:

$\varphi_B = \frac{2 \cdot 15.000 Nm \cdot 0,4m}{630.000 N m^2} - \frac{2 \cdot 20.000 N \cdot \cdot (0,4m)^2}{630.000 N m^2} $

$\varphi_B = 0,0088$