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Baustatik 1 - Spannungen im Stab

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Baustatik 1

Spannungen im Stab

Inhaltsverzeichnis

Wir betrachten zunächst die Spannungen im Stab. Ein Stab zeichnet sich dadurch aus, dass dieser nur Belastungen längs seiner Stabachse erfahren kann (Zug- bzw. Druckbelastung).

Belasten wir einen Stab auf Zug oder Druck, so treten innere Spannungen auf. 

Druckbeanspruchung
Druckbeanspruchung

 

Zugbeanspruchung

 

Betrachten wir als nächstes den Zugstab, so verursacht die äußere Zugkraft $F$ innere Spannungen. Damit die inneren Spannungen sichtbar gemacht werden können, führen wir einen Schnitt senkrecht zur Stabachse durch:

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Normalspannungen am Zugstab

 

Die auftretende Normalspannung $\sigma$ steht immer senkrecht auf der Querschnittsfläche $A$.

Wir können die Normalspannung $\sigma$ zu einer Kraft, der Normalkraft $N$, zusammenfassen indem wir die Normalkraft $N$ mit der Querschnittsfläche $A$ (auf welcher die Normalspannung steht) multipliziert:

Methode

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$N = \sigma \cdot A$                     Normalkraft

 

Ein Zug- bzw. Druckstab weist eine reine Normalbeslastung $N$ auf. Diese Normalbelastung führt zu einer Normalspannung von der wir annehmen können, dass diese über den gesamten Querschnitt gleich verteilt ist.

Merke

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Diese Annahme entspricht der Realität, wenn wir Annehmen, dass keine Querschnittssprünge auftreten und der Schnitt in hinreichender Entfernung von der Lasteinleitungsstelle erfolgt (Prinzip von St. Venant). 

 

Häufig soll die Normalspannung $\sigma_x$ berechnet werden. Dazu wird die obige Gleichung nach der Normalspannung umgestellt:

$\sigma_x = \frac{N}{A}$

Mittels Schnittprinzip kann die Normalkraft $N$ aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden:

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Normalkraft am Zugstab

 

Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung:

$\rightarrow: -F + N = 0$

$N = F$

Merke

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Bei einem Zustab ist $N = F$, bei einem Durckstab $N = -F$.

 

Die Normalspannung kann nun aus der Normalkraft berechnet werden:

Methode

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$\sigma = \frac{F}{A}$                                       Normalspannung bei konstantem Querschnitt

mit

$\sigma$ Normalspannung, Einheit: $\frac{N}{m^2}$

$F$ Zugkraft (positiv) bzw. Druckkraft (negativ), Einheit: $N$

$A$ Querschnitt, Einheit: $m^2$

 

Ist der Querschnitt eines Stabes veränderlich, so ist auch die Normalspannung bzw. Normalkraft an jeder Stelle $x$ verschieden. In der nachfolgenden Grafik ist ein Stab mit einem veränderlichen Querschnitt gegeben:

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Veränderlicher Querschnitt

 

Wir nehmen weiterhin an, dass die Spannung über den gesamten Querschnitt gleichförmig verteilt ist. Beim obigen Stab ändert sich die Zugkraft nicht entlang der Stabachse, aufgrund des veränderlichen Querschnitts ändert sich aber die Normalkraft und damit auch die Normalspannung. Demnach ergibt sich die Formel in Abhängigkeit von $x$ (Zugkraft und damit Normalspannung zeigen in $x$-Richtung):

Methode

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$\sigma (x) = \frac{F}{A} (x)$

 

Resultiert ein positiver Wert für die Spannung, so handelt es sich um eine Zugspannung, bei einem negativen Wert um eine Druckspannung.