Spannungen im Stab

Wir betrachten zunächst die Spannungen im Stab. Ein Stab zeichnet sich dadurch aus, dass dieser nur Belastungen längs seiner Stabachse erfahren kann (Zug- bzw. Druckbelastung).

Belasten wir einen Stab auf Zug oder Druck, so treten innere Spannungen auf. 

Druckbeanspruchung

Betrachten wir als Nächstes den Zugstab, so verursacht die äußere Zugkraft $F$ innere Spannungen. Damit die inneren Spannungen sichtbar gemacht werden können, führen wir einen Schnitt senkrecht zur Stabachse durch:

Normalspannungen am Zugstab

Die auftretende Normalspannung $\sigma$ steht immer senkrecht auf der Querschnittsfläche $A$.

Wir können die Normalspannung $\sigma$ zu einer Kraft, der Normalkraft $N$, zusammenfassen indem wir die Normalkraft $N$ mit der Querschnittsfläche $A$ (auf welcher die Normalspannung steht) multipliziert:

Ein Zug- bzw. Druckstab weist eine reine Normalbelastung $N$ auf. Diese Normalbelastung führt zu einer Normalspannung von der wir annehmen können, dass diese über den gesamten Querschnitt gleich verteilt ist.

Häufig soll die Normalspannung $\sigma_x$ berechnet werden. Dazu wird die obige Gleichung nach der Normalspannung umgestellt:

$\sigma_x = \frac{N}{A}$

Mittels Schnittprinzip kann die Normalkraft $N$ aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden:

Normalkraft am Zugstab

Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung:

$\rightarrow: -F + N = 0$

$N = F$

Die Normalspannung kann nun aus der Normalkraft berechnet werden:

Ist der Querschnitt eines Stabes veränderlich, so ist auch die Normalspannung bzw. Normalkraft an jeder Stelle $x$ verschieden. In der nachfolgenden Grafik ist ein Stab mit einem veränderlichen Querschnitt gegeben:

Veränderlicher Querschnitt

Wir nehmen weiterhin an, dass die Spannung über den gesamten Querschnitt gleichförmig verteilt ist. Beim obigen Stab ändert sich die Kraft $F$ (Zugkraft) nicht entlang der Stabachse, aufgrund des veränderlichen Querschnitts $A(x)$ ändert sich aber die Normalkraft $N$ und damit auch die Normalspannung $\sigma$. Demnach ergibt sich die Formel in Abhängigkeit von $x$:

$\sigma (x) = \frac{N}{A} (x)$

und mit $F = N$ (horizontale Gleichgewichtsbedingung):

Resultiert ein positiver Wert für die Spannung, so handelt es sich um eine Zugspannung (zeigt vom Querschnitt weg) bei einem negativen Wert um eine Druckspannung (zeigt zum Querschnitt hin).