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Baustofftechnik 1 - Wärmeleitung durch eine ebene Wand

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Baustofftechnik 1

Wärmeleitung durch eine ebene Wand

In diesem Abschnitt soll die Wärmeleitung durch eine ebene Wand betrachtet werden.

Wie bereits im vorherigen Abschnitt aufgezeigt, berechnet sich der Wärmestrom durch eine ebene Wand durch folgende Formel:

Methode

Hier klicken zum AusklappenWärmestrom: $\dot{Q} = - \lambda \cdot A \cdot \frac{dT}{dx}$ 

Die Trennung der Veränderlichen führt zu:

$\dot{Q} \cdot dx = - \lambda \cdot A \cdot dT$ 

Es wird des Weiteren davon ausgegangen, dass gilt: $ A = const $ und $ \lambda = \lambda_m = const $

Daraus ergibt sich:

$ \dot{Q} \cdot \int_{x_1}^{x_2} dx = - \lambda_m \cdot A \cdot \int_{T_1}^{T_2} dT $ 

Auflösen des Integrals:

$ \dot{Q} \cdot  (x_2 - x_1) = - \lambda_m \cdot A \cdot (T_2 - T_1) $ 

mit $ x_2 - x_1 = s $ und $ T_1 > T_2 $ gilt demnach:

Methode

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$ \dot{Q} = \frac{\lambda_m}{s} \cdot A \cdot (T_1 - T_2) $

mit

  • $ \lambda_m $ = mittlere Wärmeleitfähigkeit [$ \frac{ W}{m \ K} $]
  • $ A $ = Wandfläche [m²]
  • $ T_1 $ = maximale Oberflächentemperatur [K]
  • $ T_2 $ = minimale Oberflächentemperatur [K]
  • $ T_1 - T_2 $ = Temperaturdifferenz in [K]
  • $ s $ = Wanddicke [m]

Alternativ kann man natürlich das Minuszeichen stehen lassen, dann müssen die Temperaturwerte jedoch wieder vertauscht werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\dot{Q} = -\frac{\lambda}{s} \cdot A \cdot (T_2 - T_1)$

Dies stellt die Gleichung zur Bestimmung des Wärmestroms durch eine ebene Wand dar.

Wärmestrom durch eine ebene Wand mit mehreren Schichten

Mehrschichtige Gebäudewand

Eine Wand besteht im Normalfalls aus mehreren Schichten mit unterschiedlichen Materialien. Das bedeutet, dass für jede Schicht eine eigene Wärmeleitfähigkeit $ \lambda $ vorliegt.

Wärmeleitung ebene Wand mehrere Schichten
Wärmeleitung durch eine ebene Wand

Angenommen es handelt sich um eine Wand mit 3 Schichten (1-3). Die 3 Wärmeströme ergeben sich zu:

  • $ \dot{Q} = \frac{\lambda_{m,1}}{s_1} \cdot A \cdot (T_1 - T_2) $
  • $ \dot{Q} = \frac{\lambda_{m,2}}{s_2} \cdot A \cdot (T_2 - T_3) $
  • $ \dot{Q} = \frac{\lambda_{m,3}}{s_3} \cdot A \cdot (T_3 - T_4) $

Auflösen nach den Temperaturdifferenzen:

  • $ T_1 - T_2 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} $
  • $ T_2 - T_3 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} $
  • $ T_3 - T_4 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_3}{\lambda_{m,3}} $

 Addition der Temperaturdifferenzen:

$ T_1 - T_2 + T_2 - T_3 + T_3 - T_4 = T_1 - T_4 $

Daraus folgt:

$ T_1 - T_4 = \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{\dot{Q}}{A} \frac{s_3}{\lambda_{m,3}} $

 

$ T_1 - T_4 = \frac{\dot{Q}}{A} \cdot ( \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{s_3}{\lambda_{m,3}}) $

Die Gleichung nach $ \dot{Q} $ auflösen ergibt dann:

$ \Large{\dot{Q} = \frac{(T_1 - T_4) \cdot A}{ \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{s_3}{\lambda_{m,3}}}} $

Beispiel: Wärmestrom durch ebene Wand

Beispiel

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Eine 45 m² große Hauswand mit einer Innentemperatur von 20 °C und einer Außentemperatur von 0 °C besteht aus einer Betonwand. Die Wärmeleitfähigkeit von Beton sei gegeben mit $\lambda (10 °C) = 2,1 \frac{W}{m \ K}$. Die Hauswand sei 25 cm dick. Bestimme den Wärmestrom $ \dot{Q} $!

Die Bestimmung des Wärmestroms erfolgt durch:

$\dot{Q} = \frac{\lambda_m}{s} \cdot A \cdot (T_1 - T_2)$

 Einsetzen der Werte führt zu:

$\dot{Q} = \frac{2,1 \frac{W}{m \ \cdot \ K}}{0,25 \ m} \cdot 45 \ m^2 \cdot (293,15 - 273,15) \ K = 7.560 \ W$

Merke

Hier klicken zum AusklappenEs kann natürlich auch die Temperaturdifferenz: (20 °C - 0 °C) gewählt werden, da die Temperaturdifferenz in °C der in K entspricht. Es muss jedoch als Formeleinheit K verwendet werden.

Beispiel: Wärmestrom durch mehrere Schichten

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenEine 50 m² große Hauswand mit einer Außentemperatur von -5 °C und einer Innentemperatur von 18 °C besteht aus vier Schichten. Die Schicht 1 besitzt einen Wärmeleitkoeffizienten von $ \lambda_1 = 0,9 \frac{W}{m \ K} $, Schicht 2 einen Wärmeleitkoeffizienten von $ \lambda_2 = 0,6 \frac{W}{m \ K} $, Schicht 3 einen Wärmeleitkoeffizienten von $ \lambda_3 = 0,12 \frac{W}{m \ K} $ und Schicht 4 einen Wärmeleitkoeffizienten $ \lambda_4 = 0,3 \frac{W}{m \ K} $. Schicht 1 ist 2 cm, Schicht 2 ist 30 cm, Schicht 3 ist 5 cm und Schicht 4 ist 2 cm dick. Bestimme den Wärmestrom $ \dot{Q} $!

Es wird die folgende Gleichung herangezogen:

$ \dot{Q} = \frac{(T_{max} - T_{min}) \ \cdot \ A}{ \frac{s_1}{\lambda_{m,1}} + \frac{s_2}{\lambda_{m,2}} + \frac{s_3}{\lambda_{m,3}} + \frac{s_4}{\lambda_{m,4}}} $

Einsetzen der Werte:

$ \dot{Q} = \frac{(291,15 - 268,15) \ K \cdot 50 \ m^2}{\frac{0,02 \ m}{0,9 \frac{W}{m \ K}} + \frac{0,3 \ m}{0,6 \frac{W}{m \ K}} + \frac{0,05 \ m}{0,12 \frac{W}{m \ K}} + \frac{0,02 \ m}{0,3 \frac{W}{m \ K}}} $

$ \dot{Q} = \frac{1.150 \ K \ m^2}{ 1,0056 \frac{m^2 K}{W}} = 1.143,6 \ W $