Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase und universelle Gaskonstante

Möchten wir die bisher behandelten Gasgesetze in einer Gleichung zusammenfassen, so nutzen wir die thermische Zustandsgleichung idealer Gase (auch: allgemeine Gasgleichung):

$ p \; V = n \; R_u \; T $             allgemeine Gasgleichung

mit

$p$ - Druck des Gases in Pascal $ (1 Pa = 1 \frac {N}{m^2} = 1 \frac {kg \; m}{m^2 \; s^2} = 1 \frac {kg}{m \; s^2}) $

$V$ - Volumen des Gases in m³

$n$ - Stoffmenge in mol

$R_u$ - universelle Gaskonstante in $ \frac {J}{mol \; K} $

$T$ - thermodynamische Temperatur des Gases in Kelvin

Die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase hat eine einfache Form und ist deswegen für die Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen Druck, Volumen und Temperatur geeignet.

Universelle Gaskonstante

Die universelle Gaskonstante R_u - sie kann synonym auch als allgemeine oder molare Gaskonstante bezeichnet werden - ist das Produkt aus Avogadro-Konstante und Boltzmann-Konstante.

$ R_u = N_A \cdot k_B $

Avogadro-Konstante

Die Avogadro-Konstante N_A ist als Teilchenzahl $N$ je Stoffmenge $n$ definiert. Sie gibt an, wie viele Atome oder Moleküle in einem Mol eines bestimmten Stoffes vorhanden sind.

$ N_A = \frac {N}{n} = 6,02214 \cdot 10^{23} mol^{-1} $         Avogadro-Konstante

Boltzmann-Konstante

Die Boltzmann-Konstante k_B ist eine nach dem Physiker Ludwig Boltzmann benannte Naturkonstante, die die mittlere Bewegungsenergie von Teilchen in einem Gas in Bezug zur Temperatur des Gases setzt, also mikroskopische und makroskopische Physik miteinander verknüpft.

$ k_B = 1,38065 \cdot 10^{-23} \frac {J}{K} $              Boltzmann-Konstante

Die universellen Gaskonstante R_u hat für alle idealen Gase den gleichen Wert von:

$ R_u = 8,31447 \frac {J}{mol \; K} $ bzw. $ R_u = 8.314,47 \frac {J}{kmol \; K} $    universelle Gaskonstante

Beispiel - Berechnung des Volumens

10 mol eines idealen Gases, z.B. Helium haben eine Temperatur von 15 °C und stehen unter einem Druck von 1 bar. Wie groß ist das Volumen des Gases?

Zuerst müssen wir die Einheiten der physikalischen Größen anpassen:

Druck: $ 1bar = 100.000 Pa = 100.000 \frac {N}{m^2} $

universelle Gaskonstante: $ 1J = N \; m \rightarrow [ \frac {J}{mol \; K}] = [ \frac {N \; m}{mol \; K}] $

Bei der Temperatur müssen wir zusätzlich noch den Wert der Zustandsgröße anpassen. Es gilt:

$ 0 °C = 273,15 K$

und somit:

$ 15 °C = 273,15 K + 15 K = 288,15 K $

Zunächst stellen wir die Zustandsgleichung des idealen Gases nach dem Volumen um:

$ p \; V = n \; R_u \; T $

$ \rightarrow \; V = \frac {n \; R_u \; T}{p} $

Jetzt setzen wir ein, berechnen den Wert und kürzen die überflüssigen Einheit $N$, $mol$ und $K$ heraus und rechnen die Einheiten $m$ und $m^2$ zu $m^3$ zusammen:

$ V = \frac{10 mol \cdot 8,31447 \frac {N \; m}{mol \; K} \cdot 288,15 K}{100.000 \frac {N}{m^2}} $

$ V = 0,23958 \; m \cdot m^2 = 0,23958 m^3 = 239,6 l $

Ergebnis: Das Volumen beträgt 239,6 Liter.