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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Elementare Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Elementare Funktionen

In der Mathematik sprechen wir von einer Funktion oder Abbildung, wenn zwischen zwei Mengen eine Beziehung besteht, bei der jedem Element der einen Menge ($x$-Wert, unabhängige Variable oder Funktionsargument genannt) genau ein Element der anderen Menge ($y$-Wert, abhängige Variable oder Funktionswert genannt) zugeordnet werden kann.

In der Literatur wird der Begriff unterschiedlich definiert. Allgemein wird jedoch davon ausgegangen, dass mathematischen Objekten (z. B. Zahlen, Mengen, geometrische Körper) durch Funktionen mathematische Objekte zuzuordnen sind.

Methode

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mathematische Funktion: $f: \begin{cases} D \to Z \\ x \mapsto y \end{cases} \;$ oder auch $\; f: D \longrightarrow Z, x \mapsto y \;\;$

Jedem Element $x$ der Definitionsmenge $D$ wird durch die Funktion $f$ genau ein Element $y$ der Zielmenge $Z$ zugeordnet. Das dem Element $x$ aus der Defintionsmenge $D$ zugeordnete Element $y \in Z$ bezeichnen wir im Allgemeinen mit $f(x)$.


Bitte beachte, dass die Umkehrung der Definition in der Methode-Box nicht gilt! Ein Element der Zielmenge kann einem, mehreren oder auch keinem Element zugeordnet sein.

 

Die verschiedenen Funktionen können in zwei große Gruppen aufgeteilt werden. Wir können in rationale und nichtrationale (irrationale) Funktionen unterscheiden. Weiterhin können wir in algebraische und transzendente Funktionen unterscheiden.

Rationale Funktionen

Die rationalen Funktionen unterscheiden wir in

  • ganzrationale Funktionen und
  • gebrochenrationale Funktionen.

Die ganzrationalen Funktionen können wir weiter unterscheiden in:

  • Potenzfunktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(x) = a x^n$
  • konstante Funktionen: $\;\;\;\;\; f(x) = a_0$
  • lineare Funktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(x) = a_1x + a_0$
  • quadratische Funktionen: $\, f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$
  • allgemeine ganzrationale Funktionen n-ten Grades (Polynom):
    $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$
     

Nichtrationale Funktionen

Zu den nichtrationalen Funktionen gehören

  • Wurzelfunktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$
  • trigonometrische Funktionen: bspw. $ f(x) = sin \, x$
  • Arkusfunktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ bspw. $ f(x) = arcsin \, x$
  • Exponentialfunktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(x) = a^x$
  • Logarithmusfunktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f(x) = log_b(x)$
  • hyperbolische Funktionen:$\;\;\;\;$ bspw. $f(x) = sinh \, x$
  • Areafunktionen: $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ bspw. $f(x) = Arsinh \, x$
     

Algebraische Funktionen

Diese Art von Funktionen werden insbesondere in der Algebra verwendet. Definiert sind algebraische Funktionen als Lösungen der algebraischen Gleichung:

Methode

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algebraische Gleichung: $P(f(x_1, ..., x_n), x_1, ..., x_n) = 0$

$P$ = irreduzibles Polynom (in $n + 1$ Variablen und Koeffizienten

$f(x_1, ..., x_n)$ = Funktion (in $n$ Variablen)

$x_1, ..., x_n$ = Variablen (der Anzahl $n$)


Diese Gleichung brauchst Du Dir nicht merken. Um festzustellen, ob eine Funktion algebraisch ist musst du nur in der Formel nachschauen, ob in dieser Formel endlich viele der folgenden Rechenoperationen vorkommen:

  • die Grundrechenarten $( + , - , \cdot , \div )$
  • das Potenzieren
  • das Radizieren (Wurzelziehen)

 

Zu den algebraischen Funktionen zählen mithin:

  • alle rationalen Funktionen
  • das Radizieren

Transzendente Funktionen

Alle weitere, nichtalgebraische Funktionen ordnen wir den transzenten Funktionen zu. Dementsprechend gehören zu ihnen:

  • Exponentialfunktionen
  • Logarithmusfunktionen
  • trigonometrische Funktionen
  • Arkusfunktionen
  • Hyperbelfunktionen
  • Areafunktionen
     

 

Im folgenden Kapitel werden wir die elementaren Funktionen in rationale und irrationale Funktionen eingehen. Die rationalen Funktionen unterteilen wir dabei in

  • ganzrationale Funktionen und
  • gebrochenrationale Funktionen

unterscheiden.