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Ein Vektor der die Länge $|1|$ besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.
Basisvektoren
Die drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt.
Hierbei stellt $\vec{e_1}$ den Einheitsvektor in $x$ - Richtung dar, die Einheitsvektoren $\vec{e_2}$ bzw. $\vec{e_3}$ zeigen in $y$ - Richtung bzw. in $z$ - Richtung des dreidimensionalen Koordinatensystems.
Merke
Die angelsächsische Bezeichnung zur Darstellung der Einheitsvektoren ist $\vec{i}$, $\vec{j}$ und $\vec{k}$.
Mit Hilfe dieser 3 Basisvektoren lässt sich jeder Vektor im dreidimensionalen Raum als Linearkombination der Basisvektoren darstellen:
Beispiel
Der Ortsvektor $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 20 \\ 5 \end{array} \right)$ ist dann eine Linearkombination aus den drei Basisvektoren:
$\left( \begin{array}{c} -10 \\ 20 \\ 5 \end{array} \right) = -10 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + 20 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + 5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$
Berechnung des Einheitsvektors
Um den Einheitsvektor eines beliebig langen Vektors zu ermitteln, muss man die einzelnen Komponenten eines Vektors kennen und diese durch die Länge des Vektors dividieren:
Methode
$\vec{e}_{\vec{a}} = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$
Dabei ist $|\vec{a}|$ die Länge des Vektors $\vec{a}$. Die Länge von Vektoren kann wie folgt bestimmt werden:
Methode
bzw.
Länge eines Vektors im Raum: $ a = |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
Für den Vektor $\vec{a}$ in der Ebene wird die Länge mittels Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt:
Für die Länge von Vektoren gelten die folgenden Rechenregeln:
Methode
$|\vec{a}| = |-\vec{a}|$
$|c \cdot \vec{a}| = |c| \cdot |\vec{a}|$
Dreiecksungleichung: $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$
Abstand der Endpunkte von $\vec{a}$ und $\vec{b}$: $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{b} - \vec{a}|$
Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / Einheitsvektor
Beispiel
Bitte berechnen die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(6,3)$ und $B(1,5)$!
Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen Punkte.
Es wird zunächst der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt, indem der Vektor $\vec{a}$ von dem Vektor $\vec{b}$ subtrahiert wird. Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entsprechen den Punkten, auf welchen sie zeigen, da diese im Ursprung $P(0,0)$ beginnen. Formal richtig werden diese bestimmt durch:
$\vec{a} = A(6,3) - P(0,0) = (6,3)$
$\vec{b} = B(1,5) - P(0,0) = (1,5)$
Es kann nun der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt werden:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1,5) - (6,3) = (-5, 2)$
Der hier berechnete Vektor stellt zunächst ebenfalls einen Ortsvektor dar, welcher im Urpsrung $P(0,0)$ beginnt und auf den Punkt $(-5,2)$ zeigt. Dieser muss dann parallel zu sich selbst in die Punkte $A$ und $B$ verschoben werden.
Die Länge des Vektors wird dann berechnet durch:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{29} \approx 5,39$
Merke
Der Vektor $\vec{BA}$ würde bestimmt durch: $\vec{a} - \vec{b}$
Die Länge wäre demnach identisch: $|\vec{AB}| = |\vec{BA}|$
Beispiel
Der Einheitsvektor wird bestimmt durch:
$\vec{e}_{\vec{AB}} = \frac{1}{|\vec{AB}|} \cdot \vec{AB}$
Es wird nun also der Vektor $\vec{AB}$ durch seine Länge geteilt bzw. mit dem Kehrwert multipliziert:
$\vec{e}_{\vec{AB}} = \frac{1}{5,39} \cdot (-5,2) = (-0,93, \, 0,37)$
Der Einheitsvektor ist demnach $(-0,93, \, 0,37)$ mit der Länge $1$:
$|\vec{e}_{\vec{AB}}| = \sqrt{(-0,93)^2 + 0,37^2} \approx 1$
In der obigen Grafik ist der Ortsvektor $\vec{AB}$ (gestrichelt) zu sehen. Dieser zeigt vom Koordinatenursprung auf den Punkt $(-5,2)$. Wird dieser nun parallel zu sich selbst verschoben, so liegt er genau zwischen den beiden Punkten $A$ und $B$ und zeigt von Punkt $A$ auf den Punkt $B$.
Der Einheitsvektor $\vec{e}_{\vec{AB}}$ zeigt in Richtung des Vektors $\vec{AB}$, ist jedoch auf die Länge $1$ normiert worden. Der Vektor $\vec{AB}$ besitzt hingegen die Länge $5,39$.
Beispiel
Zunächst wird der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (7, 4, 4) - (9,5,6) = (-2,-1,-2)$
Dann wird die Länge berechnet:
Die Länge beträgt damit: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$
Beispiel
Der Einheitsvektor hat die Länge $1$. Um diesen zu ermitteln, muss der Vektor $\vec{AB} = (-2,-1,-2)$ durch seine Länge geteilt werden:
$\vec{e_{AB}} = (-2,-1,-2) \cdot \frac{1}{3} = ( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$
Die Länge des Einheitsvektors beträgt $1$:
$|\vec{e_{AB}} | = \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2} = 1$
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