Beispiel 3: Diagonalisierbarkeit

In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wie eine Matrix diagonalisiert werden kann.

Anwendungsbeispiel 3: Diagonalisierbarkeit

1. Schritt: Bestimmung des charakteristischen Polynoms

$\chi_A(\lambda) = det(A - \lambda E) $

$(A-\lambda E) = \begin{pmatrix} -2-\lambda & - 2 & 1 \\ 2 & 3-\lambda & -2 \\ 0 & 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}$

Die Determinante wird mittels Regel von Sarrus bestimmt:

$det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} -2-\lambda & - 2 & 1 \\ 2 & 3-\lambda & -2 \\ 0 & 0 & -1-\lambda \\ -2-\lambda & - 2 & 1 \\ 2 & 3-\lambda & -2 \end{vmatrix}$

$\chi_A(\lambda) = (-2-\lambda) \cdot (3-\lambda) \cdot (-1-\lambda) - (-1-\lambda) \cdot (-2) \cdot 2$

$\chi_A(\lambda) = (-1 - \lambda) \cdot [(-2-\lambda) \cdot (3-\lambda) - (-2) \cdot 2]$

$\chi_A(\lambda) = (-1 - \lambda) \cdot [(-2-\lambda) \cdot (3-\lambda)  -  (-4)] $

$\chi_A(\lambda) = (-1 - \lambda) \cdot [(-2-\lambda) \cdot (3-\lambda)  + 4]$

$\chi_A(\lambda) = (-1 - \lambda) \cdot (-6 + 2 \lambda - 3\lambda + \lambda^2 + 4)$

$\chi_A(\lambda) = (-1 - \lambda) \cdot (\lambda^2 - \lambda - 2 )$

2. Schritt: Bestimmung der Eigenwerte

$\chi_A(\lambda) = det(A - \lambda E) = 0$

Wird eine der obigen Klammern des charakteristischen Polynoms gleich null, so wird die gesamte Gleichung null. Die Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix. Sie können ermittelt werden, indem Werte für $\lambda$ eingesetzt werden. Diese Werte $\lambda$ führen dann dazu, dass die gesamte Gleichung null wird. 

$(-1-\lambda) = 0$ $\rightarrow \lambda_1 = -1$

$(\lambda^2 - \lambda - 2 ) = 0$

Anwendung der p/q-Formel:

$\lambda_{2,3} = -\frac{-1}{2} \pm \sqrt{(\frac{-1}{2})^2 - (-2)}$

$\lambda_{2,3} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{-1}{2})^2 +2}$

$\lambda_{2,3} = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$

$\lambda_{2} = 2$

$\lambda_{3} = -1$

Es resultieren also die zwei Eigenwerte $\lambda_1 = -1$ mit algebraischer Vielfachheit 2 und $\lambda_2 = 2$ mit algebraischer Vielfachheit 1.

$\Longrightarrow$ Es resultieren $n = 3$ Nullstellen für diese $3 \times 3$-Matrix. Das heißt, dass das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden kann!

3. Schritt: Bestimmung der Eigenvektoren

Zu den oben angegebenen Eigenwerten sollen die Eigenvektoren bestimmt werden. Für $\lambda = -1$ müssen zwei linear unabhängige Eigenvektoren resultieren und für $\lambda = 2$ ein unabhängiger Eigenvektor, damit die algebraische Vielfachheit und die geometrische Vielfachheit übereinstimmen.

$(A - \lambda E) \cdot \vec{x} = 0$

1. Eigenvektor: für $\lambda = -1$

$(A + 1 E) \cdot \vec{x} = 0$

$(A + 1 E) \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 & - 2 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

Wir wenden den Gauß-Algorithmus an, um die Matrix soweit wie möglich zu reduzieren:

$\begin{pmatrix} -1 & - 2 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \;\;\; \vert \text{2. Zeile} + 2 \times \text{1. Zeile}$

$\begin{pmatrix} -1 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 

Es kann nicht weiter reduziert werden:

$\begin{pmatrix} -1 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

Das lineare Gleichungssystem sieht wie folgt aus:

$-x_1 -2x_2 + x_3 = 0$

$x_1 = -2x_2 + x_3$

Es wird nun für $x_1 = -2x_2 + x_3$ eingesetzt:

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x_2 + x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

Vorziehen eines Faktors (andere Darstellungsform):

$x_2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1  \end{pmatrix}$

Die Eigenvektoren sind:

$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1  \end{pmatrix}$

Es resultieren 2 Eigenvektoren für den Eingenwert $\lambda = -1$ mit der algebraischen Vielfachheit 2. Demnach stimmen hier die geometrische und die algebraische Vielfachheit überein.

2. Eigenvektor: für $\lambda = 2$

$(A - 2 E) \cdot \vec{x} = 0$

$(A - 2 E) \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 & - 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

Wir wenden den Gauß-Algorithmus an, um die Matrix soweit wie möglich zu reduzieren:

$\begin{pmatrix} -4 & - 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$