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Aufgabe 1: Untervektorraum
Beispiel
$\vec{V}= \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ a \end{array} \right) | a \in \mathbb{R} \}$ sei eine Teilmenge von $\mathbb{R}^2$.
Überprüfe, ob $V$ einen Untervektorraum darstellt!
Lösung:
Es müssen 3 Bedingungen geprüft werden:
- Der Nullvektor muß im Unterraum enthalten sein
- Der Unterraum muss abgeschlossen bezüglich der Addition sein, d. h. wenn zwei Vektoren aus dem Unterraum addiert werden, dann ist die Summe auch wieder in dem Unterraum enthalten.
- Der Unterraum muss abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation sein, d. h. für Skalar mal Vektor aus dem Unterraum liegt wieder ein Vektor im Unterraum vor.
Wir wollen nun also prüfen, ob $V$ einen Vektorraum darstellt.
Ist der Nullvektor im Untervektorraum enthalten?
Für $a = 0$ ergibt sich kein Nullvektor:
$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right)$
Demnach ist $\vec{0} \neq V$. Der Nullvektor ist also nicht enthalten. $V$ ist kein Untervektorraum.
Aufgabe 2: Untervektorraum
Beispiel
$\vec{V}= \{ \left( \begin{array}{c} a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) | a \in \mathbb{R} \}$ sei eine Teilmenge von $\mathbb{R}^2$.
Überprüfe, ob $V$ einen Untervektorraum darstellt!
Lösung:
1. Ist der Nullvektor im Untervektorraum enthalten?
Wir setzen für $a = 0$ ein und erhalten:
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$
Der Nullvektor ist $V$ enthalten, also $\vec{0} \in V$.
2. Vektoraddition
Wir führen die Vektoraddition aus zwei Vektoren der obigen Menge $V$ durch, wobei wir für $a$ beliebige Werte einsetzen. Es muss wieder ein Vektor aus $V$ resultieren:
$\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$
Der resultierende Vektor ist ein Element von $V$. $a = 3$ ist Element der reellen Zahlen. An der 2. und 3. Stelle resultiert eine Null.
3. Skalarmultiplikation
Wir betrachten als nächstes die Skalarmultiplikation und setzen für $\lambda = 2$ (beliebige Zahl Element der reellen Zahlen) ein:
$2 \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$
Auch hier ist das Ergebnis Element von $V$. Setzen wir nun nämlich für $a$ eine reelle Zahl ein, so resultiert wieder eine reelle Zahl. An den Stellen 2 und 3 stehen Nullen.
Demnach ist $V$ ein Vektorraum.
Aufgabe 3: Vektorraum
Beispiel
$\vec{V}= \{ \left( \begin{array}{c} a \\ 2a \\ 3a \end{array} \right) | a \in \mathbb{R} \}$ sei eine Teilmenge von $\mathbb{R}^2$.
Überprüfe, ob $V$ einen Untervektorraum darstellt!
Lösung:
1. Ist der Nullvektor im Untervektorraum enthalten?
Wir setzen für $a = 0$ ein und erhalten:
$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$
Der Nullvektor ist $V$ enthalten, also $\vec{0} \in V$.
2. Vektoraddition
Wir gehen wie oben vor und führen die Vektoraddition aus zwei Vektoren der obigen Menge durch, wobei wir für $a$ beliebige, reelle Werte einsetzen ($a = 3$ und $a = 5$):
$\left( \begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 5 \\ 10 \\ 15 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ 16 \\ 24 \end{array} \right)$
Der resultierende Vektor ist ein Element von $V$. Denn wenn $a = 8$, dann ist $16 = 2a$ und $24 = 3a$.
allgemein formuliert:
Seien die Vektoren $\vec{a}, \vec{b} \in V$, d. h. $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a \\ 2a \\ 3a \end{array} \right) $ und $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b \\ 2b \\ 3b \end{array} \right)$ gegeben.
Der Vektor $\vec{b}$ liegt ebenfalls in $V$, da $b \in \mathbb{R}$. Wir können nun die Vektoraddition durchführen:
$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a \\ 2a \\ 3a \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} b \\ 2b \\ 3b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a+b \\ 2(a + b) \\ 3 (a + b) \end{array} \right)$
Setzen wir nun $c := a + b$, so erhalten wir:
$\left( \begin{array}{c} c \\ 2c \\ 3 c \end{array} \right)$
Dieser Vektor liegt in $V$, da $a,b \in \mathbb{R}$ und damit auch $c \in \mathbb{R}$.
3. Skalarmultiplikation
Wir betrachten als nächstes die Skalarmultiplikation und setzen für $\lambda = 2$ (beliebige Zahl Element der reellen Zahlen) ein:
$2 \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ 2a \\ 3a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2a \\ 4a \\ 6a \end{array} \right)$
Auch hier ist das Ergebnis Element von $V$. Setzen wir für $a$ eine reelle Zahl ein, so resultiert wieder eine reelle Zahl.
allgemein formuliert:
$\lambda \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ 2a \\ 3a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \lambda \cdot a \\ \lambda \cdot 2a \\ \lambda \cdot 3a \end{array} \right)$
Demnach ist $V$ ein Vektorraum.
