Wie bereits in dem vorherigen Kapitel gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor $\vec{a}$ durch einen anderen Vektor $\vec{b}$ und einem zu $\vec{b}$ orthogonalen (senkrechten) Vektor $\vec{x}$ darstellt.
Methode
Die orthogonale Zerlegung eines Vektors $\vec{a}$ bezüglich eines Vektors $\vec{b}$ (auch als orthogonale Projektion bezeichnet) ist die Zerlegung des Vektors $\vec{a}$ in zwei Vektoren, einer parallel zu $\vec{b}$ und einer senkrecht zu $\vec{b}$. In Summe ergeben diese Vektoren den Vektor $\vec{a}$.
Merke
Das bedeutet: Der gegebene Vektor $\vec{a}$ wird durch eine Kombination aus dem gegeben Vektor $\vec{b}$ und einem unbekannten Vektor $\vec{x}$, welcher senkrecht zu $\vec{b}$ ist, dargestellt:
$\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$
Beispiel
Wie müssen wir $s$ und $\vec{x}$ wählen, sodass $\vec{b}$ und $\vec{x}$ orthogonal zueinander (bzw. senkrecht) stehen?
Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel bilden und ihr Skalarprodukt gleich null ist.
Zwei Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{x}$ sind orthogonal, wenn:
Merke
orthogonale Vektoren: $\vec{b} \cdot \vec{x} = |\vec{b}| \cdot |\vec{x}| \cdot \cos (90°) = 0$
Mit diesem Wissen können wir nun das Beispiel lösen:
(1) Die Gleichung $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$ muss nach der unbekannten $\vec{x}$ aufgelöst werden:
$\vec{x} = \vec{a} - s \cdot \vec{b}$
(2) Diese Gleichung wird dann in die Gleichung $\vec{b} \cdot \vec{x} = 0$ eingesetzt:
$\vec{b} \cdot (\vec{a} - s \cdot \vec{b}) = 0$
(3) Auflösen nach $s$ ergibt:
$\vec{b} \cdot \vec{a} - s \cdot \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 $
$\vec{b} \cdot \vec{a} = s \cdot \vec{b} \cdot \vec{b}$
$ s = \frac{\vec{b} \, \cdot \, \vec{a}}{\vec{b} \, \cdot \, \vec{b}}$
(4) Einsetzen von $s$ in $\vec{x} = $ ergibt:
Merke
orthogonale Zerlegung von $\vec{a}$ längs $\vec{b} \,$:
$\vec{x} = \vec{a} - s \cdot \vec{b} = \vec{a} - \frac{\vec{b} \, \cdot \, \vec{a}}{\vec{b} \, \cdot \, \vec{b}} \cdot \vec{b}$
Die obige Gleichung entspricht der orthogonalen Zerlegung von $\vec{a}$ längs $\vec{b} \,$:
Die obige Grafik zeigt, dass der Vektor $\vec{a}$ durch den Vektor $\vec{b}$ und einem zu $\vec{b}$ senkrechten Vektor $\vec{x}$ dargestellt wird. Dabei muss der Vektor $\vec{b}$ mit der Zahl $s$ so mulitpliziert (skaliert) werden, dass sich dieser verkürzt. In diesem Fall liegt $s$ zwischen $0$ und $1$.
Anwendungsbeispiel: Zerlegung von Vektoren
Beispiel
Gegeben seien die folgenden Vektoren: $\vec{a} = (0,4)$ und $\vec{b} = (3,3)$
Lösung der orthogonale Zerlegung:
$\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$
$\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}\right) = s \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)+ \vec{x}$
Bevor wir die obige Formel
$\vec{x} = \vec{a} - \frac{\vec{b} \, \cdot \, \vec{a}}{\vec{b} \, \cdot \, \vec{b}} \cdot \vec{b}$
benutzen, berechnen wir die Skalarprodukte:
$\vec{b} \cdot \vec{a} = 3 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = 12$
$\vec{b} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 18$
Diese setzen wir anschließend in die Formel ein:
$\vec{x} = (0,4) - \frac{12}{18} \cdot (3,3) = (0,4) - \frac{2}{3} \cdot (3,3) = (-2,2)$
Gegenrechnung
$\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$
$\vec{a} = \frac{2}{3} \cdot (3,3) + (-2,2) = (0,4)$
Prüfung der Orthogonalität
$\vec{b} \cdot \vec{x} = 0$
$(3,3) \cdot (-2,2) = 3 \cdot -2 + 3 \cdot 2 = 0$