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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Zerlegung von Vektoren

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Zerlegung von Vektoren

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Inhaltsverzeichnis

Vektor
Vektor

 

Wie bereits in dem vorherigen Kapitel gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor  $\vec{a}$  durch einen anderen Vektor  $\vec{b}$  und einem zu  $\vec{b}$  orthogonalen (senkrechten) Vektor  $\vec{x}$ darstellt.

Methode

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Die orthogonale Zerlegung eines Vektors $\vec{a}$ bezüglich eines Vektors $\vec{b}$ (auch als orthogonale Projektion bezeichnet) ist die Zerlegung des Vektors $\vec{a}$ in zwei Vektoren, einer parallel zu $\vec{b}$ und einer senkrecht zu $\vec{b}$. In Summe ergeben diese Vektoren den Vektor $\vec{a}$.

Merke

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Das bedeutet: Der gegebene Vektor  $\vec{a}$ wird durch eine Kombination aus dem gegeben Vektor  $\vec{b}$  und einem unbekannten Vektor  $\vec{x}$, welcher senkrecht zu $\vec{b}$ ist, dargestellt:

$\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$

Beispiel

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Wie müssen wir $s$ und $\vec{x}$ wählen, sodass $\vec{b}$ und $\vec{x}$ orthogonal zueinander (bzw. senkrecht) stehen?

Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel bilden und ihr Skalarprodukt gleich null ist.

Zwei Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{x}$ sind orthogonal, wenn:

Merke

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orthogonale Vektoren: $\vec{b} \cdot \vec{x} = |\vec{b}| \cdot |\vec{x}| \cdot \cos (90°) = 0$


Mit diesem Wissen können wir nun das Beispiel lösen:

(1) Die Gleichung  $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$  muss nach der unbekannten  $\vec{x}$  aufgelöst werden:

$\vec{x} =  \vec{a} - s \cdot \vec{b}$

(2) Diese Gleichung wird dann in die Gleichung $\vec{b} \cdot \vec{x} = 0$  eingesetzt:

$\vec{b} \cdot (\vec{a} - s \cdot \vec{b}) = 0$

(3) Auflösen nach $s$ ergibt:

$\vec{b} \cdot \vec{a} - s \cdot \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 $

$\vec{b} \cdot \vec{a} = s \cdot \vec{b} \cdot \vec{b}$

$ s = \frac{\vec{b} \, \cdot \, \vec{a}}{\vec{b} \, \cdot \, \vec{b}}$

(4) Einsetzen von $s$ in $\vec{x} = $  ergibt:

Merke

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orthogonale Zerlegung von $\vec{a}$ längs $\vec{b} \,$:
$\vec{x} =  \vec{a} - s \cdot \vec{b} = \vec{a} - \frac{\vec{b} \, \cdot \, \vec{a}}{\vec{b} \, \cdot \, \vec{b}} \cdot \vec{b}$           


Die obige Gleichung entspricht der orthogonalen Zerlegung von $\vec{a}$ längs $\vec{b} \,$:

Orthogonale Zerlegung von Vektoren
orthogonale Zerlegung

Die obige Grafik zeigt, dass der Vektor $\vec{a}$ durch den Vektor $\vec{b}$ und einem zu $\vec{b}$ senkrechten Vektor $\vec{x}$ dargestellt wird. Dabei muss der Vektor $\vec{b}$ mit der Zahl $s$ so mulitpliziert (skaliert) werden, dass sich dieser verkürzt. In diesem Fall liegt $s$ zwischen $0$ und $1$.

Anwendungsbeispiel: Zerlegung von Vektoren

Beispiel

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Gegeben seien die folgenden Vektoren: $\vec{a} = (0,4)$ und $\vec{b} = (3,3)$

Lösung der orthogonale Zerlegung:

 $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$

 $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}\right) = s \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)+ \vec{x}$

Bevor wir die obige Formel

$\vec{x} =  \vec{a} - \frac{\vec{b} \, \cdot \, \vec{a}}{\vec{b} \, \cdot \, \vec{b}} \cdot \vec{b}$

benutzen, berechnen wir die Skalarprodukte:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = 3 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = 12$

$\vec{b} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 18$

Diese setzen wir anschließend in die Formel ein:

$\vec{x} =  (0,4) - \frac{12}{18} \cdot (3,3) = (0,4) - \frac{2}{3} \cdot (3,3) = (-2,2)$

Gegenrechnung

 $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$

 $\vec{a} = \frac{2}{3} \cdot (3,3) + (-2,2) = (0,4)$

Prüfung der Orthogonalität

$\vec{b} \cdot \vec{x} = 0$

$(3,3) \cdot (-2,2) = 3 \cdot -2 + 3 \cdot 2 = 0$

Video: Zerlegung von Vektoren

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