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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Zerlegung von Vektoren

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Zerlegung von Vektoren

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Wie bereits in dem vorherigen Kapitel gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor  $\vec{a}$  durch einen anderen Vektor  $\vec{b}$  und einem zu  $\vec{b}$  orthogonalen (senkrechten) Vektor  $\vec{x}$ darstellt.

Merke

Die orthogonale Zerlegung eines Vektors $\vec{a}$ bezüglich eines Vektors $\vec{b}$ (auch als orthogonale Projektion bezeichnet) ist die Zerlegung des Vektors $\vec{a}$ in zwei Vektoren, einer parallel zu $\vec{b}$ und einer senkrecht zu $\vec{b}$. In Summe ergeben diese Vektoren den Vektor $\vec{a}$.

Das bedeutet: Der gegebene Vektor  $\vec{a}$  soll durch eine Kombination aus dem gegeben Vektor  $\vec{b}$  und einem unbekannten Vektor  $\vec{x}$, welcher senkrecht zu $\vec{b}$ ist, dargestellt werden:

$\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$

Beispiel

Wie muss man $s$ und $\vec{x}$ wählen, so dass $\vec{b}$ und $\vec{x}$ orthogonal (senkrecht) sind?

Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal bzw. senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist.

Zwei Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{x}$ sind orthogonal, wenn 

Methode

$\vec{b} \cdot \vec{x} = 0$             Orthogonale Vektoren


Bilden zwei Vektoren einen rechten Winkel, dann sind diese orthogonal zueinander:

Methode

$\vec{b} \cdot \vec{x} = |\vec{b}| \cdot |\vec{x}| \cdot \cos (90°) = 0$      Orthogonale Vektoren


Mit diesem Wissen, kann man nun das Beispiel lösen:

(1) Die Gleichung  $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$  muss nach der unbekannten  $\vec{x}$  aufgelöst werden:

$\vec{x} =  \vec{a} - s \cdot \vec{b}$

(2) Diese Gleichung wird dann in die  $\vec{b} \cdot \vec{x} = 0$  eingesetzt:

$\vec{b} \cdot (\vec{a} - s \cdot \vec{b}) = 0$

(3) Auflösen nach $s$ ergibt:

$\vec{b} \cdot \vec{a} - s \cdot \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 $

$\vec{b} \cdot \vec{a} = s \cdot \vec{b} \cdot \vec{b}$

$ s = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\vec{b} \cdot \vec{b}}$

(4) Einsetzen von $s$ in $\vec{x} =  \vec{a} - s \cdot \vec{b}$  ergibt:

Merke

$\vec{x} =  \vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}$             Orthogonale Zerlegung von $\vec{a}$ längs $\vec{b}$

mit

$s = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\vec{b} \cdot \vec{b}}$


Die obige Gleichung entspricht der orthogonalen Zerlegung von $\vec{a}$ längs $\vec{b}$:

Orthogonale Zerlegung von Vektoren
Orthogonale Zerlegung

Die obige Grafik zeigt, dass der Vektor $\vec{a}$ durch den Vektor $\vec{b}$ und einem zu $\vec{b}$ senkrechten (90° Winkel) Vektor $\vec{x}$ dargestellt wird. Dabei muss der Vektor $\vec{b}$ mit der Zahl $s$ so mulitpliziert (skaliert) werden, dass dieser sich verkürzt. In diesem Fall liegt $s$ zwischen $0 < s < 1$.

Anwendungsbeispiel: Zerlegung von Vektoren

Beispiel

Gegeben seien die folgenden Vektoren: $\vec{a} = (0,4)$ und $\vec{b} = (3,3)$.

Lösung der orthogonale Zerlegung:

 $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$

 $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}\right) = s \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)+ \vec{x}$

Die obige Umformung ergab:

Methode

$\vec{x} =  \vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}$


Es wird zunächst das Skalarprodukt berechnet:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = 3 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = 12$

$\vec{b} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 18$

Danach einsetzen in die obige Formel:

$\vec{x} =  (0,4) - \frac{12}{18} \cdot (3,3) = (0,4) - \frac{2}{3} \cdot (3,3) = (-2,2)$

Gegenrechnung:

 $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$

 $\vec{a} = \frac{2}{3} \cdot (3,3) + (-2,2) = (0,4)$

Prüfung der Orthogonalität

$\vec{b} \cdot \vec{x} = 0$

$(3,3) \cdot (-2,2) = 3 \cdot -2 + 3 \cdot 2 = 0$

Video: Zerlegung von Vektoren

Video: Zerlegung von Vektoren