Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Das Vektorprodukt

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Das Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wo hingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.

Eigenschaften des Vektorprodukts

Ein Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist ein Vektor, der die folgenden Eigenschaften aufweist:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen1. $\vec{a} \times \vec{b} = 0$, falls $\vec{a} = 0$ oder $\vec{b} = 0$ oder sich $\vec{a}$ parallel zu $\vec{b}$ befindet

2. $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \sin \; \varphi$  ist der Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms (dies ist in der Grafik unten veranschaulicht). 

3. In jedem Fall außer 1. steht der resultierende Vektor $\vec{c}$  senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ (Siehe Grafik).
Vektorprodukt
Vektorprodukt: Aufgespanntes Parallelogramm

Um die Richtung des Vektorproduktes $\vec{a} \times \vec{b}$ festzulegen kann man sich folgender Hilfsmethode bedienen:

Merke

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Rechte-Hand-Regel:

Bei der rechten-Hand-Regel wird der Zeige- und Mittelfinger für die Ausgangsvektoren verwendet, welche sich in derselben Ebene befinden. Der Daumen gibt dann die Richtung des resultierenden Vektors an. In Bezug auf die obige Grafik wäre das Vektorprodukt aus $\vec{a} \times \vec{b}$ wie folgt mit der Rechten-Hand-Regel zu bestimmen: $\vec{a}$ stellt den Zeigefinger dar, $\vec{b}$ den Mittelfinger und der resultierende Vektor $\vec{c}$ wird mit dem Daumen angegeben. Der Daumen zeigt nach oben und demnach auch der Vektor $\vec{c}$.

Anderes Beispiel: $\vec{a} \times \vec{c}$

Für das Vektorprodukt aus den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ ergibt sich dann mit Zeige- und Mittelfinger (Zeigefinger vertikal nach oben, Mittelfinger horizontal nach links), dass der Daumen schräg auf einen zuzeigt. Es resultiert also die Richtung des Vektors $\vec{b}$.

Berechnung des Vektorprodukts

Die allgemeine Berechnung sieht wie folgt aus:

Methode

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$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)$


Bei der Berechnung des Vektorprodukts kann also entweder die obige Formel angewandt werden oder aber eine vereinfachte Variante verwendet werden:

Die Einträge der Vektoren werden zweimal untereinander geschrieben. Die erste Zeile und die letzte Zeile werden gestrichen:

Vereinfachte Berechnung des Skalarproduktes
Vektorprodukt - Vereinfachung

 

Es werden dann über kreuz immer zwei Einträge miteinander multipliziert:

Vereinfachte Berechnung des Skalaprodukts über Diagonalen
Vektorprodukt - Diagonalen berechnen

 

Die Gleichung auf der rechten Seite entspricht genau der oben aufgeführten Gleichung.

Prüfungstipp

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Habt ihr also innerhalb der Klausur die Formel für das Vektorprodukt vergessen, so könnt ihr die Vektoren zweimal untereinander schreiben, die erste und letzte Zeile streichen und die obigen Diagonalen bilden. Die grünen Digonalen müssen dabei von den blauen abgezogen werden. 

Wir schreiben die Einträge der Vektoren einfach zweimal untereinander und streichen die erste und letzte Zeile. Dann multiplizieren wir immer zwei Einträge „über Kreuz“ und subtrahieren die umgekehrte Richtung..

Anwendungsbeispiel: Vektorprodukt

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenBilde das Vektorprodukt aus den Vektoren  $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$ und  $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$.  Berechne außerdem die Fläche und den Winkel des von $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  aufgespannten Parallelogramms.
Lösung: Berechnung des Vektorprodukts

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (1 \cdot 2) - (3 \cdot 0) \\ (3 \cdot 1) - (1 \cdot 2)  \\ (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)$

Lösung: Berechnung der Fläche

$F = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$

Der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt also: $2,45$.

Lösung: Berechnung des Winkels

Der Winkel wird wie im Abschnitt Skalarprodukt und Winkel aufgezeigt wie folgt berechnet:

$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $


Wir bilden also zunächst das Skalarprodukt:

$\vec{a} \cdot \vec{b} =  a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 7$

Danach wird die Länge der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}$

$|\vec{b}| =  \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

Einsetzen in die obige Formel:

$\cos (\varphi) = \frac{7}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{5}} = 0,944$

Nach dem Winkel auflösen:

$\varphi = arccos(0,944) = 19,27°$

Berechnung der Fläche eines Dreiecks aus drei Punkten

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben seien die Punkte $A = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$,  $B = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)$  und  $C = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 4 \end{array}\right)$.   Wie sieht die Fläche des durch die drei Punkte gegebenen Dreiecks aus?

Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm, kann also mit der gleichen Methode (nur mit dem Faktor 1/2 versehen) berechnet werden. Dazu müssen wir in diesem Fall erst zwei aufspannende Seitenvektoren berechnen:

$\vec{a} = \vec{AB} = B - A = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$

$\vec{b} = \vec{AC} = C - A = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$

Aus diesen beiden wird das Vektorprodukt berechnet:

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$ x $\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -8 \\ 0 \end{array}\right)$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt damit 

$F = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2 + (-8)^2 + 0^2} = \frac{1}{2} \sqrt{128} \approx 5,66 $

Merke

Hier klicken zum AusklappenBezieht man sich auf die Einheitsvektoren $\vec {e}_1$, $\vec {e}_2$, $\vec {e}_3$ so gelten stets folgenden Regeln:

$\vec{e}_1 \times \vec{e}_1 = 0$,

$\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec {e}_3$,

$\vec{e}_1 \times \vec{e}_3 = -\vec {e}_2$,


$\vec{e}_2 \times \vec{e}_1 = -\vec {e}_3$,

$\vec{e}_2 \times \vec{e}_2 = 0$,

$\vec{e}_2 \times \vec{e}_3 = \vec {e}_1$,


$\vec{e}_3 \times \vec{e}_1 = \vec {e}_2$,

$\vec{e}_3 \times \vec{e}_2 = -\vec{e}_1$,

$\vec{e}_3 \times \vec{e}_3 = 0$.

Zudem

$\vec{e}_3 \times \vec{b} = -b_2 \vec{e}_1 + b_1 \vec{e}_2$,     sofern $\vec{b} = b_1 \vec{e}_1 + b_2 \vec{e}_2 + b_3 \vec{e}_3$