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Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wohingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.
Eigenschaften des Vektorprodukts
Das Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist ein Vektor, der die folgenden Eigenschaften aufweist:
Methode
2. Der Betrag des Vektorprodukts $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \sin \; \varphi$ gibt den Flächeninhalt $F$ des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms an(dies ist in der Grafik unten veranschaulicht). Dieser Flächeninhalt $F$ ist gleich dem Betrag von Vektor $\vec{c}$. Also: $|\vec{c}| = |vec{a} \times \vec{b}|$.
3. Der resultierende Vektor $\vec{c}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ (siehe Grafik), ausgenommen die Vektoren liegen zueinander wie unter Punkt 1. beschrieben.
Um die Richtung des Vektorproduktes $\vec{a} \times \vec{b}$ festzulegen, bedient man sich folgender Methode:
Merke
Rechte-Hand-Regel:
Bei der rechten-Hand-Regel werden der Zeige- und Mittelfinger für die Ausgangsvektoren verwendet, welche sich in derselben Ebene befinden. Der Daumen gibt dann die Richtung des resultierenden Vektors an. In Bezug auf die obige Grafik wäre das Vektorprodukt aus $\vec{a} \times \vec{b}$ wie folgt mit der Rechten-Hand-Regel zu bestimmen:
Wir schauen uns zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ an. Wichtig für die Beurteilung welcher Vektor den Zeigefinger und welcher den Mittelfinger erhält ist ein Rechtssystem. So liegt der Vektor, welcher den Zeigefinger erhält immer rechts von dem anderen Vektor, wobei hier immer der kleinere Winkel als Beurteilung gewählt wird.
Im obigen Beispiel liegt Vektor $\vec{a}$ rechts von Vektor $\vec{b}$ ausgehend vom kleineren Winkel. Demnach erhält $\vec{a}$ den Zeigefinger und $\vec{b}$ den Mittelfinger. Der Daumen gibt dann die Richtung von $\vec{c}$ an und steht senkrecht auf der von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Ebene.
Berechnung des Vektorprodukts
Die allgemeine Berechnung sieht wie folgt aus:
Methode
$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)$
Bei der Berechnung des Vektorprodukts kann also entweder die obige Formel oder eine vereinfachte Variante angewendet werden:
Die Einträge der Vektoren werden zweimal untereinander geschrieben. Die erste Zeile und die letzte Zeile werden gestrichen:
Es werden dann über kreuz immer zwei Einträge miteinander multipliziert:
Die Gleichung auf der rechten Seite entspricht genau der oben in der Methode-Box aufgeführten Gleichung.
Prüfungstipp
Hast du also innerhalb der Klausur die Formel für das Vektorprodukt vergessen, so kannst du die Vektoren zweimal untereinander schreiben, die erste und letzte Zeile streichen und die obigen Diagonalen bilden. Die grünen Diagonalen müssen dabei von den blauen abgezogen werden.
Beispiel: Vektorprodukt
Beispiel
Lösung: Berechnung des Vektorprodukts
$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (1 \cdot 2) - (3 \cdot 0) \\ (3 \cdot 1) - (1 \cdot 2) \\ (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)$
Lösung: Berechnung der Fläche
$F = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$
Der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms beträgt $2,45$.
Lösung: Berechnung des Winkels
Der Winkel wird berechnet, wie im Abschnitt Skalarprodukt und Winkel beschrieben:
$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \, \cdot \, \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $
Wir bilden also zunächst das Skalarprodukt:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 7$
Danach bestimmen wir die Länge der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}$
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
Einsetzen in die obige Formel ergibt:
$\cos (\varphi) = \frac{7}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{5}} = 0,944$
Wir lösen nach dem Winkel auf:
$\varphi = arccos(0,944) = 19,27°$
Berechnung der Fläche eines Dreiecks aus drei Punkten
Beispiel
Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm. Wir können also die gleiche Methode benutzen. Die resultierende Fläche muss nur mit dem Faktor 1/2 multipliziert werden. Dazu müssen wir in diesem Fall zuerst die zwei aufspannenden Seitenvektoren berechnen:
$\vec{a} = \vec{AB} = B - A = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$
$\vec{b} = \vec{AC} = C - A = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$
Aus diesen beiden wird das Vektorprodukt bestimmt:
$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$ x $\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -8 \\ 0 \end{array}\right)$
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt damit:
$F = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2 + (-8)^2 + 0^2} = \frac{1}{2} \sqrt{128} \approx 5,66 $
Merke
Bezieht man sich auf die Einheitsvektoren $\vec {e}_1$, $\vec {e}_2$, $\vec {e}_3$, so gelten stets die folgenden Regeln:
- $\vec{e}_1 \times \vec{e}_1 = 0$
$\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec {e}_3$
$\vec{e}_1 \times \vec{e}_3 = -\vec {e}_2$ - $\vec{e}_2 \times \vec{e}_1 = -\vec {e}_3$
$\vec{e}_2 \times \vec{e}_2 = 0$
$\vec{e}_2 \times \vec{e}_3 = \vec {e}_1$ - $\vec{e}_3 \times \vec{e}_1 = \vec {e}_2$
$\vec{e}_3 \times \vec{e}_2 = -\vec{e}_1$
$\vec{e}_3 \times \vec{e}_3 = 0$ - Wenn: $\, \vec{b} = b_1 \vec{e}_1 + b_2 \vec{e}_2 + b_3 \vec{e}_3$
dann: $\, \vec{e}_3 \times \vec{b} = -b_2 \vec{e}_1 + b_1 \vec{e}_2$
