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Das Vektorprodukt

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Das Vektorprodukt ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wo hingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.

Eigenschaften des Vektorprodukts

Ein Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist ein Vektor, der die folgenden Eigenschaften aufweist:

Methode

1. $\vec{a} \times \vec{b} = 0$, falls $\vec{a} = 0$ oder $\vec{b} = 0$ oder sich $\vec{a}$ parallel zu $\vec{b}$ befindet

2. $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \sin \; \varphi$  ist der Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms (dies ist in der Grafik unten veranschaulicht). 

3. In jedem Fall außer 1. steht der resultierende Vektor $\vec{c}$  senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ (Siehe Grafik).
Vektorprodukt
Vektorprodukt: Aufgespanntes Parallelogramm

Um die Richtung des Vektorproduktes $\vec{a} \times \vec{b}$ festzulegen kann man sich folgender Hilfsmethode bedienen:

Merke

Rechte-Hand-Regel:

Wie in einem 3-dimensionalen-Koordinatensystem stellen der Daumen, Zeige- und Mittelfinger die 3 Achsen im rechten Winkel zueinander dar. In Bezug auf die obige Grafik wäre das Vektorprodukt aus $\vec{a} \times \vec{b}$ wie folgt mit der Rechten-Hand-Regel zu bestimmen: $\vec{a}$ stellt den Zeigefinger dar $\vec{b}$ den Mittelfinger und der resultierende Vektor $\vec{c}$ wird mit dem Daumen angegeben. Der Daumen zeigt nach oben und demnach auch der Vektor $\vec{c}$.

Anderes Beispiel: $\vec{a} \times \vec{c}$

Für das Vektorprodukt aus den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ ergibt sich dann mit Zeige- und Mittelfinger (Zeigefinger vertikal nach oben, Mittelfinger horizontal nach links), dass der Daumen schräg auf einen zuzeigt. Es resultiert also die Richtung des Vektors $\vec{b}$.

Berechnung des Vektorprodukts

Die allgemeine Berechnung sieht wie folgt aus:

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)$

Beispiel

Bilde das Vektorprodukt aus den Vektoren  $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$ und  $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$.  Berechne außerdem die Fläche und den Winkel des von $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  aufgespannten Parallelogramms.
Lösung: Berechnung des Vektorprodukts

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (1 \cdot 2) - (3 \cdot 0) \\ (3 \cdot 1) - (1 \cdot 2)  \\ (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)$

Lösung: Berechnung der Fläche

$F = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$

Der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt also: $2,45$.

Lösung: Berechnung des Winkels

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin \; \varphi$

$\varphi = \arcsin \frac{|\vec{a} \ \text{x} \ \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \arcsin \frac{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2}} = \arcsin \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{5}} = 19,3$°.

Berechnung der Fläche eines Dreiecks aus drei Punkten

Beispiel

Gegeben seien die Punkte $A = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$,  $B = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)$  und  $C = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 4 \end{array}\right)$.   Wie sieht die Fläche des durch die drei Punkte gegebenen Dreiecks aus?

Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm, kann also mit der gleichen Methode (nur mit dem Faktor 1/2 versehen) berechnet werden. Dazu müssen wir in diesem Fall erst zwei aufspannende Seitenvektoren berechnen:

$\vec{a} = \vec{AB} = B - A = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$

$\vec{b} = \vec{AC} = C - A = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$

Aus diesen beiden wird das Vektorprodukt berechnet:

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$ x $\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -8 \\ 0 \end{array}\right)$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt damit 

$F = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2 + (-8)^2 + 0^2} = \frac{1}{2} \sqrt{128} \approx 5,66 $

Merke

Bezieht man sich auf die Einheitsvektoren $\vec {e}_1$, $\vec {e}_2$, $\vec {e}_3$ so gelten stets folgenden Regeln:

$\vec{e}_1 \times \vec{e}_1 = 0$,

$\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec {e}_3$,

$\vec{e}_1 \times \vec{e}_3 = -\vec {e}_2$,


$\vec{e}_2 \times \vec{e}_1 = -\vec {e}_3$,

$\vec{e}_2 \times \vec{e}_2 = 0$,

$\vec{e}_2 \times \vec{e}_3 = \vec {e}_1$,


$\vec{e}_3 \times \vec{e}_1 = \vec {e}_2$,

$\vec{e}_3 \times \vec{e}_2 = -\vec{e}_1$,

$\vec{e}_3 \times \vec{e}_3 = 0$.

Zudem

$\vec{e}_3 \times \vec{b} = -b_2 \vec{e}_1 + b_1 \vec{e}_2$,     sofern $\vec{b} = b_1 \vec{e}_1 + b_2 \vec{e}_2 + b_3 \vec{e}_3$ 
Multiple-Choice
Welche der Regeln für das Vektorprodukt in Bezug auf die Einheitsvektoren stimmen nicht?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

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Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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    Ein Kursnutzer am 09.12.2014:
    "Waaaaaaaaaaaaaaaaaaahnsinn einfach nur sein Geld wert :D Nur 25€ für solch einen Kurs würden auch reichen ;) wir sind schließlich Studenten und noch keine Akademiker ;-D aber auf jedenfall TOP Immer, wenn ich in der Uni sitze und nichts verstehe und dann an diesen Kurs hier denke, komme ich mir in der Uni richtig dumm vor :-D mir fehlen einfach die Worte Note 1 reicht garnicht :)"

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    Ein Kursnutzer am 13.10.2014:
    "Kurz und kapp,werden die Inhalte (wesentliche und wichtige) verständlich erklärt. "

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    Ein Kursnutzer am 22.08.2014:
    "Hätte ich das nur während dem Abi damals gewusst :D Ich war damals aber auch faul, sehr gut das man hier an den Basics anfängt und Schritt für Schriit nochmal alles erklärt bekommt =)))"

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