Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Das Vektorprodukt

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Das Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wohingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.

Eigenschaften des Vektorprodukts

Das Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist ein Vektor, der die folgenden Eigenschaften aufweist:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen1. $\vec{a} \times \vec{b} = 0$, falls $\vec{a} = 0$ oder $\vec{b} = 0$ oder sich $\vec{a}$ parallel zu $\vec{b}$ befindet.

2. Der Betrag des Vektorprodukts $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \sin \; \varphi$ gibt den Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms (dies ist in der Grafik unten veranschaulicht). 

3. Der resultierende Vektor $\vec{c}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ (siehe Grafik), ausgenommen die Vektoren liegen zueinander wie unter Punkt 1. beschrieben.
Vektorprodukt
Vektorprodukt: aufgespanntes Parallelogramm

Um die Richtung des Vektorproduktes $\vec{a} \times \vec{b}$ festzulegen, bedient man sich folgender Methode:

Merke

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Rechte-Hand-Regel:

Bei der rechten-Hand-Regel werden der Zeige- und Mittelfinger für die Ausgangsvektoren verwendet, welche sich in derselben Ebene befinden. Der Daumen gibt dann die Richtung des resultierenden Vektors an. In Bezug auf die obige Grafik wäre das Vektorprodukt aus $\vec{a} \times \vec{b}$ wie folgt mit der Rechten-Hand-Regel zu bestimmen: $\vec{a}$ stellt den Zeigefinger dar, $\vec{b}$ den Mittelfinger. Der nach oben zeigende Daumen stellt dann den resultierenden Vektor $\vec{c}$ dar.

Anderes Beispiel: $\vec{a} \times \vec{c}$

Für das Vektorprodukt aus den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ resultiert dann mit Zeige- und Mittelfinger (Zeigefinger vertikal nach oben, Mittelfinger horizontal nach links) für die Richtung des Vektors $\vec{b}$, dass der Daumen auf den Betrachter zeigt.

Berechnung des Vektorprodukts

Die allgemeine Berechnung sieht wie folgt aus:

Methode

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$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)$


Bei der Berechnung des Vektorprodukts kann also entweder die obige Formel oder eine vereinfachte Variante angewendet werden:

Die Einträge der Vektoren werden zweimal untereinander geschrieben. Die erste Zeile und die letzte Zeile werden gestrichen:

Vereinfachte Berechnung des Skalarproduktes
Vektorprodukt - Vereinfachung

 

Es werden dann über kreuz immer zwei Einträge miteinander multipliziert:

Vereinfachte Berechnung des Skalaprodukts über Diagonalen
Vektorprodukt - Diagonalen berechnen

 

Die Gleichung auf der rechten Seite entspricht genau der oben in der Methode-Box aufgeführten Gleichung.

Prüfungstipp

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Hast du also innerhalb der Klausur die Formel für das Vektorprodukt vergessen, so kannst du die Vektoren zweimal untereinander schreiben, die erste und letzte Zeile streichen und die obigen Diagonalen bilden. Die grünen Diagonalen müssen dabei von den blauen abgezogen werden. 

 

Anwendungsbeispiel: Vektorprodukt

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenBilde das Vektorprodukt aus den Vektoren  $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$! Berechne bitte außerdem die Fläche und den Winkel des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms!

Lösung: Berechnung des Vektorprodukts

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (1 \cdot 2) - (3 \cdot 0) \\ (3 \cdot 1) - (1 \cdot 2)  \\ (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)$

Lösung: Berechnung der Fläche

$F = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$

Der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms beträgt $2,45$.

Lösung: Berechnung des Winkels

Der Winkel wird berechnet, wie im Abschnitt Skalarprodukt und Winkel beschrieben:

$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \, \cdot \, \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $


Wir bilden also zunächst das Skalarprodukt:

$\vec{a} \cdot \vec{b} =  a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 7$

Danach bestimmen wir die Länge der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}$

$|\vec{b}| =  \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

Einsetzen in die obige Formel ergibt:

$\cos (\varphi) = \frac{7}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{5}} = 0,944$

Wir lösen nach dem Winkel auf:

$\varphi = arccos(0,944) = 19,27°$

Berechnung der Fläche eines Dreiecks aus drei Punkten

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben seien die Punkte $A = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$,  $B = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)$  und  $C = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 4 \end{array}\right)$. Wie groß ist die Fläche des durch die drei Punkte aufgespannten Dreiecks?

Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm. Wir können also die gleiche Methode benutzen. Die resultierende Fläche muss nur mit dem Faktor 1/2 multipliziert werden. Dazu müssen wir in diesem Fall zuerst die zwei aufspannenden Seitenvektoren berechnen:

$\vec{a} = \vec{AB} = B - A = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$

$\vec{b} = \vec{AC} = C - A = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$

Aus diesen beiden wird das Vektorprodukt bestimmt:

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$ x $\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -8 \\ 0 \end{array}\right)$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt damit:

$F = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2 + (-8)^2 + 0^2} = \frac{1}{2} \sqrt{128} \approx 5,66 $

Merke

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Bezieht man sich auf die Einheitsvektoren $\vec {e}_1$, $\vec {e}_2$, $\vec {e}_3$, so gelten stets die folgenden Regeln:

  • $\vec{e}_1 \times \vec{e}_1 = 0$
    $\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec {e}_3$
    $\vec{e}_1 \times \vec{e}_3 = -\vec {e}_2$

  • $\vec{e}_2 \times \vec{e}_1 = -\vec {e}_3$
    $\vec{e}_2 \times \vec{e}_2 = 0$
    $\vec{e}_2 \times \vec{e}_3 = \vec {e}_1$


  • $\vec{e}_3 \times \vec{e}_1 = \vec {e}_2$
    $\vec{e}_3 \times \vec{e}_2 = -\vec{e}_1$
    $\vec{e}_3 \times \vec{e}_3 = 0$

  • Wenn: $\, \vec{b} = b_1 \vec{e}_1 + b_2 \vec{e}_2 + b_3 \vec{e}_3$
    dann: $\, \vec{e}_3 \times \vec{b} = -b_2 \vec{e}_1 + b_1 \vec{e}_2$