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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Das Vektorprodukt

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Das Vektorprodukt

Das Vektorprodukt ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wo hingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.

Eigenschaften des Vektorprodukts

Ein Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist ein Vektor, der die folgenden Eigenschaften aufweist:

Methode

1. $\vec{a} \times \vec{b} = 0$, falls $\vec{a} = 0$ oder $\vec{b} = 0$ oder sich $\vec{a}$ parallel zu $\vec{b}$ befindet

2. $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \sin \; \varphi$  ist der Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms (dies ist in der Grafik unten veranschaulicht). 

3. In jedem Fall außer 1. steht der resultierende Vektor $\vec{c}$  senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ (Siehe Grafik).
Vektorprodukt
Vektorprodukt: Aufgespanntes Parallelogramm

Um die Richtung des Vektorproduktes $\vec{a} \times \vec{b}$ festzulegen kann man sich folgender Hilfsmethode bedienen:

Merke

Rechte-Hand-Regel:

Bei der rechten-Hand-Regel wird der Zeige- und Mittelfinger für die Ausgangsvektoren verwendet, welche sich in derselben Ebene befinden. Der Daumen gibt dann die Richtung des resultierenden Vektors an. In Bezug auf die obige Grafik wäre das Vektorprodukt aus $\vec{a} \times \vec{b}$ wie folgt mit der Rechten-Hand-Regel zu bestimmen: $\vec{a}$ stellt den Zeigefinger dar, $\vec{b}$ den Mittelfinger und der resultierende Vektor $\vec{c}$ wird mit dem Daumen angegeben. Der Daumen zeigt nach oben und demnach auch der Vektor $\vec{c}$.

Anderes Beispiel: $\vec{a} \times \vec{c}$

Für das Vektorprodukt aus den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ ergibt sich dann mit Zeige- und Mittelfinger (Zeigefinger vertikal nach oben, Mittelfinger horizontal nach links), dass der Daumen schräg auf einen zuzeigt. Es resultiert also die Richtung des Vektors $\vec{b}$.

Berechnung des Vektorprodukts

Die allgemeine Berechnung sieht wie folgt aus:

Methode

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)$

Anwendungsbeispiel: Vektorprodukt

Beispiel

Bilde das Vektorprodukt aus den Vektoren  $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$ und  $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$.  Berechne außerdem die Fläche und den Winkel des von $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  aufgespannten Parallelogramms.
Lösung: Berechnung des Vektorprodukts

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (1 \cdot 2) - (3 \cdot 0) \\ (3 \cdot 1) - (1 \cdot 2)  \\ (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1)\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)$

Lösung: Berechnung der Fläche

$F = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$

Der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt also: $2,45$.

Lösung: Berechnung des Winkels

Der Winkel wird wie im Abschnitt Skalarprodukt und Winkel aufgezeigt wie folgt berechnet:

$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $


Wir bilden also zunächst das Skalarprodukt:

$\vec{a} \cdot \vec{b} =  a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 7$

Danach wird die Länge der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gebildet:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}$

$|\vec{b}| =  \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

Einsetzen in die obige Formel:

$\cos (\varphi) = \frac{7}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{5}} = 0,944$

Nach dem Winkel auflösen:

$\varphi = arccos(0,944) = 19,27°$

Berechnung der Fläche eines Dreiecks aus drei Punkten

Beispiel

Gegeben seien die Punkte $A = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$,  $B = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)$  und  $C = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 4 \end{array}\right)$.   Wie sieht die Fläche des durch die drei Punkte gegebenen Dreiecks aus?

Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm, kann also mit der gleichen Methode (nur mit dem Faktor 1/2 versehen) berechnet werden. Dazu müssen wir in diesem Fall erst zwei aufspannende Seitenvektoren berechnen:

$\vec{a} = \vec{AB} = B - A = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$

$\vec{b} = \vec{AC} = C - A = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$

Aus diesen beiden wird das Vektorprodukt berechnet:

$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$ x $\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -8 \\ 0 \end{array}\right)$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt damit 

$F = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^2 + (-8)^2 + 0^2} = \frac{1}{2} \sqrt{128} \approx 5,66 $

Merke

Bezieht man sich auf die Einheitsvektoren $\vec {e}_1$, $\vec {e}_2$, $\vec {e}_3$ so gelten stets folgenden Regeln:

$\vec{e}_1 \times \vec{e}_1 = 0$,

$\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec {e}_3$,

$\vec{e}_1 \times \vec{e}_3 = -\vec {e}_2$,


$\vec{e}_2 \times \vec{e}_1 = -\vec {e}_3$,

$\vec{e}_2 \times \vec{e}_2 = 0$,

$\vec{e}_2 \times \vec{e}_3 = \vec {e}_1$,


$\vec{e}_3 \times \vec{e}_1 = \vec {e}_2$,

$\vec{e}_3 \times \vec{e}_2 = -\vec{e}_1$,

$\vec{e}_3 \times \vec{e}_3 = 0$.

Zudem

$\vec{e}_3 \times \vec{b} = -b_2 \vec{e}_1 + b_1 \vec{e}_2$,     sofern $\vec{b} = b_1 \vec{e}_1 + b_2 \vec{e}_2 + b_3 \vec{e}_3$