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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Addition von Vektoren

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Addition von Vektoren

Die Addition von zwei Vektoren    $\vec{a} =  \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$    und    $\vec{b} =  \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$    ist definiert durch

$\vec{a} + \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{array} \right)$


Die grafische Addition von Vektoren erfolgt, indem der Anfangspunkt des Vektors $\vec{b}$ an den Endpunkt des Vektors $\vec{a}$ angreiht wird. Dabei darf die Richtung der Vektoren nicht verändert werden. Der resultierende Vektor $\vec{a} + \vec{b}$ wird dann bestimmt, indem der Anfangspunkt des resultierenden Vektors an den Anfangspunkt des ersten Vektors gelegt wird und die Spitze des resultierenden Vektors an die Spitze des letzten Vektors.

Beispiel

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Gegeben sei der Vektor $\vec{a} = (1,2)$ und der Vektor $\vec{b} = (-5,3)$. 

Führen Sie die Addition der beiden Vektoren durch und veranschaulichen Sie dies grafisch.

Die Addition wird wie folgt durchgeführt:

$\vec{a} + \vec{b} = (1-5, 2+3) = (-4,5)$.

Dieser resultierende Vektor ist ein Ortsvektor, welcher im Ursprung beginnt (so wie auch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$) und auf den Punkt $(-4,5)$ zeigt. 

Grafisch sieht das ganze wie folgt aus:

Vektoraddition

In der obigen Grafik sind unten links die Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und die Summe aus diesen beiden $\vec{a} + \vec{b}$ zu sehen. Diese beginnen im Ursprung $(0,0)$ und zeigen auf die Punkte $A$, $B$ und $C$.

Bei der grafischen Addition (oben rechts) wird wie folgt vorgegangen:

Der Anfangspunkt des Vektors $\vec{b}$ wird an den Endpunkt von Vektor $\vec{a}$ gelegt bzw. der Anfangspunkt von Vektor $\vec{a}$ an den Endpunkt von Vektor $\vec{b}$ (Kommutativgesetz). Das Ergebnis dieser grafischen Addition ist der neue Vektor $\vec{a} + \vec{b}$. Dieser wird bestimmt, indem der Anfangspunkt des 1. Vektors und der Endpunkt des letzten Vektors miteinander verbunden werden. Dabei zeigt die Spitze des neuen Vektors auf die Spitze des letzten Vektors. 

Im Folgenden werden die Rechenregeln für die Addition von Vektoren aufgezeigt.

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz besagt, dass Argumente (Vektoren) einer Operation (Addition) vertauscht werden können, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert.

Methode

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$\vec{a} + \vec{b}  =  \vec{b} + \vec{a}$                      Kommutativgesetz


In der folgenden Grafik ist das Kommutativgesetz veranschaulicht:

Vektoraddition Kommutativgesetz

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass man Summanden beliebig zusammenfassen darf, die Summe bleibt immer gleich. Die allgemeine Schreibweise sieht wie folgt aus:

Methode

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$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}  = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})  =  \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ 


In der folgenden Grafik ist das Assoziativgesetz für die drei Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ veranschaulicht:

Vektoraddition Assoziativgesetz

Der resultierende Vektor (dicker schwarzer Vektor) ist für alle drei Operationen identisch.

Nullvektor

Ein Nullvektor ergibt sich, wenn der Anfangspunkt des ersten Vektors mit dem Endpunkt des letzten Vektors zusammenfällt.

$\vec{0}   =  \vec{a}   +  \vec{b}   +   \vec{c}  +   ...   +   \vec{n}$

Die beispielhafte Skizze der Vektoren $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} =  \vec{0}$ sieht folgendermaßen aus:

Vektoraddition Nullvektor

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass der Anfangspunkt des ersten Vektors mit dem Endpunkt des letzten Vektors zusammenfällt. Das bedeutet, dass hier kein resultierender Vektor existiert und demnach das Ergebnis ein Nullvektor ist.

Anwendungsbeipiel: Kommutativgesetz

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}= (4, 6)$ und $\vec{b} =  (8, 2)$. Bitte zeigen Sie, dass das Kommutativgesetz gilt!


Der Summenvektor ist:  

$\vec{a} + \vec{b} = (12, 8)$

$\vec{b} + \vec{a} = (12,8)$

Anwendungsbeispiel: Assoziativgesetz

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (4, 6)$, $\vec{b} = (8,2)$ und $\vec{c} = (1,3)$. Bitte zeigen Sie, dass das Assoziativgesetz gilt!

Assoziativgesetz:  

(1)    $(\vec{a} + \vec{b}) = (12,8)$

 $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}  = (13,11)$

(2)   $(\vec{b} + \vec{c}) = (9,5)$

$(\vec{b} + \vec{c}) + \vec{a} = (13,11)$