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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Einheitsvektor, Länge von Vektoren

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Einheitsvektor, Länge von Vektoren

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Ein Vektor der die Länge $|1|$ besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.

Basisvektoren

Die drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt.

Hierbei stellt  $\vec{e_1}$  den Einheitsvektor in $x$ - Richtung dar, die Einheitsvektoren  $\vec{e_2}$  und  $\vec{e_3}$  zeigen in $y$ - Richtung bzw. in $z$ - Richtung des dreidimensionalen Koordinatensystems.

Merke

Die angelsächsische Kennzeichnung zur Darstellung der Einheitsvektoren ist     $\vec{i}$,  $\vec{j}$,   $\vec{k}$

Basisvektoren

Mit Hilfe dieser 3 Basisvektoren, lässt sich jeder Vektor im dreidimensionalen Raum als Linearkombination der Basisvektoren darstellen:

Beispiel

Gegeben sei der Vektor $\vec{x} = (-10, 20, 5)$.

Der Ortsvektor $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 20 \\ 5 \end{array} \right)$ ist dann eine Linearkombination aus den drei Basisvektoren:

$\left( \begin{array}{c} -10 \\ 20 \\ 5 \end{array} \right) = -10 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + 20 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + 5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

Berechnung des EinheitsVektors

Um den Einheitsvektor eines beliebig langen Vektors zu ermitteln, muss man die einzelnen Komponenten eines Vektors kennen und diese durch die Länge des Vektors dividieren.

Methode

$\vec{e}_{\vec{a}} = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$


Dabei ist $|\vec{a}|$ die Länge des Vektors $\vec{a}$. Die Länge von Vektoren kann wie folgt bestimmt werden:

Methode

$ a = |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 }$     Länge eines Vektors für die Ebene

bzw.

$ a = |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$     Länge eines Vektors für den Raum


Für den Vektor $\vec{a}$ wird die Länge mittels Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt:

Länge von Vektoren, Satz des Pythagoras


Es gelten die folgenden Rechenregeln für die Länge von Vektoren:

Methode

$|\vec{a}| = |-\vec{a}|$

$|c \cdot \vec{a}| = |c| \cdot |\vec{a}|$

$|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$   (Dreiecksungleichung)

$|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{b} - \vec{a}|$   Abstand der Endpunkte von $\vec{a}$ und $\vec{b}$

Video: Einheitsvektor, Länge von Vektoren

Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / Einheitsvektor

Beispiel

Berechnen Sie die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(6,3)$ und $B(1,5)$.

Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen Punkte:

Vektorrechnung

Es wird zunächst der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt, indem der Vektor $\vec{a}$ von dem Vektor $\vec{b}$ subtrahiert wird. Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entsprechen den Punkten, auf welchen sie zeigen, da diese im Ursprung $P(0,0)$ beginnen. Formal richtig werden diese bestimmt durch:

$\vec{a} = A(6,3) - P(0,0) = (6,3)$

$\vec{b} = B(1,5) - P(0,0) = (1,5)$.

Es kann nun der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt werden:

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1,5) - (6,3) = (-5, 2)$

Der hier berechnete Vektor stellt zunächst ebenfalls einen Ortsvektor dar, welche im Urpsrung $P(0,0)$ beginnt und auf den Punkt $(-5,2)$ zeigt. Dieser muss dann parallel zu sich selbst in die Punkt $A$ und $B$ verschoben werden.

Die Länge des Vektors wird dann berechnet durch:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{29} \approx 5,39$

Merke

Der Vektor $\vec{BA}$ hingegen würde bestimmt durch: $\vec{a} - \vec{b}$. Die Länge wäre aber identisch:

$|\vec{AB}| = |\vec{BA}|$

Video: Einheitsvektor, Länge von Vektoren

Beispiel

Wie sieht der dazugehörige Einheitsvektor aus?

Der Einheitsvektor wird bestimmt durch:

$\vec{e}_{\vec{AB}} = \frac{1}{|\vec{AB}|} \cdot \vec{AB}$


Es wird nun also der Vektor $\vec{AB}$ durch seine Länge geteilt bzw. mit dem Kehrwert multipliziert:

$\vec{e}_{\vec{AB}} = \frac{1}{5,39} \cdot (-5,2) = (-0,93, 0,37)$

Der Einheitsvektor ist demnach $(-0,93, 0,37)$ mit der Länge $1$:

$|\vec{e}_{\vec{AB}}| = \sqrt{(-0,93)^2 + 0,37^2} \approx 1$

Einheitsvektor Länge

In der obigen Grafik ist der Ortsvektor $\vec{AB}$ (gestrichelt) zu sehen. Dieser zeigt vom Koordinatenursprung auf den Punkt $(-5,2)$. Wird dieser nun parallel zu sich selbst verschoben, so liegt er genau zwischen den beiden Punkten $A$ und $B$ und zeigt von Punkt $A$ auf den Punkt $B$.

Der Einheitsvektor $\vec{e}_{\vec{AB}}$ zeigt in Richtung des Vektors $\vec{AB}$ ist aber auf die Länge $1$ normiert worden. Der Vektor $\vec{AB}$ besitzt hingegen die Länge 5,39. 

Beispiel

Berechne die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(9, 5, 6)$ und $B(7, 4, 4)$.

Zunächst wird der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt:

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (7, 4, 4) - (9,5,6) = (-2,-1,-2)$


Dann wird die Länge berechnet:

Die Länge beträgt damit:   $|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$

Beispiel

Wie sieht der dazugehörige Einheitsvektor aus?

Der Einheitsvektor hat die Länge $1$. Um diesen zu ermitteln muss der Vektor $\vec{AB} = (-2,-1,-2)$ durch seine Länge geteilt werden:

 $\vec{e_{AB}} = (-2,-1,-2) \cdot \frac{1}{3} = ( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$

Die Länge des Einheitsvektors beträgt $1$:

$|\vec{e_{AB}} | = \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2} = 1$

Video: Einheitsvektor, Länge von Vektoren