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Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung:

Einheitsvektor, Länge von Vektoren

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Ein Vektor der die Länge $|1|$ besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.

Basisvektoren

Die drei Achsen $x$, $y$ und $z$ eines dreidimensionalen Koordinatensystems werden durch die drei Einheitsvektoren $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$,  $\vec{e_2} = (0, 1, 0)$ und $\vec{e_3} = (0, 0, 1)$ bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt.

Hierbei stellt  $\vec{e_1}$  den Einheitsvektor in $x$ - Richtung dar, die Einheitsvektoren  $\vec{e_2}$  und  $\vec{e_3}$  zeigen in $y$ - Richtung bzw. in $z$ - Richtung des dreidimensionalen Koordinatensystems.

Merke

Die angelsächsische Kennzeichnung zur Darstellung der Einheitsvektoren ist     $\vec{i}$,  $\vec{j}$,   $\vec{k}$

Basisvektoren

Mit Hilfe dieser 3 Basisvektoren, lässt sich jeder Vektor im dreidimensionalen Raum als Linearkombination der Basisvektoren darstellen:

Beispiel

Gegeben sei der Vektor $\vec{x} = (-10, 20, 5)$.

Der Ortsvektor $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 20 \\ 5 \end{array} \right)$ ist dann eine Linearkombination aus den drei Basisvektoren:

$\left( \begin{array}{c} -10 \\ 20 \\ 5 \end{array} \right) = -10 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + 20 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + 5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

Berechnung des EinheitsVektors

Um den Einheitsvektor eines beliebig langen Vektors zu ermitteln, muss man die einzelnen Komponenten eines Vektors kennen und diese durch die Länge des Vektors dividieren.

Methode

$\vec{e}_{\vec{a}} = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$


Dabei ist $|\vec{a}|$ die Länge des Vektors $\vec{a}$. Die Länge von Vektoren kann wie folgt bestimmt werden:

Methode

$ a = |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 }$     Länge eines Vektors für die Ebene

bzw.

$ a = |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$     Länge eines Vektors für den Raum


Für den Vektor $\vec{a}$ wird die Länge mittels Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt:

Länge von Vektoren, Satz des Pythagoras


Es gelten die folgenden Rechenregeln für die Länge von Vektoren:

Methode

$|\vec{a}| = |-\vec{a}|$

$|c \cdot \vec{a}| = |c| \cdot |\vec{a}|$

$|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$   (Dreiecksungleichung)

$|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{b} - \vec{a}|$   Abstand der Endpunkte von $\vec{a}$ und $\vec{b}$

Video: Einheitsvektor, Länge von Vektoren

Die Bestimmung des Einheitsvektors sowie der Länge von Vektoren wird in diesem Abschnitt vorgenommen.


Es folgt ein Beispiel zur Berechnung der Länge von zwei Vektoren und zur Berechnung des dazugehörigen Einheitsvektors:

Beispiel

Berechnen Sie die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(6,3)$ und $B(1,5)$.

Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen Punkte:

Vektorrechnung

Es wird zunächst der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt, indem der Vektor $\vec{a}$ von dem Vektor $\vec{b}$ subtrahiert wird. Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entsprechen den Punkten, auf welchen sie zeigen, da diese im Ursprung $P(0,0)$ beginnen. Formal richtig werden diese bestimmt durch:

$\vec{a} = A(6,3) - P(0,0) = (6,3)$

$\vec{b} = B(1,5) - P(0,0) = (1,5)$.

Es kann nun der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt werden:

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1,5) - (6,3) = (-5, 2)$

Der hier berechnete Vektor stellt zunächst ebenfalls einen Ortsvektor dar, welche im Urpsrung $P(0,0)$ beginnt und auf den Punkt $(-5,2)$ zeigt. Dieser muss dann parallel zu sich selbst in die Punkt $A$ und $B$ verschoben werden.

Die Länge des Vektors wird dann berechnet durch:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{29} \approx 5,39$

Merke

Der Vektor $\vec{BA}$ hingegen würde bestimmt durch: $\vec{a} - \vec{b}$. Die Länge wäre aber identisch:

$|\vec{AB}| = |\vec{BA}|$

Video: Einheitsvektor, Länge von Vektoren

Die Bestimmung des Einheitsvektors sowie der Länge von Vektoren wird in diesem Abschnitt vorgenommen.

Beispiel

Wie sieht der dazugehörige Einheitsvektor aus?

Der Einheitsvektor wird bestimmt durch:

$\vec{e}_{\vec{AB}} = \frac{1}{|\vec{AB}|} \cdot \vec{AB}$


Es wird nun also der Vektor $\vec{AB}$ durch seine Länge geteilt bzw. mit dem Kehrwert multipliziert:

$\vec{e}_{\vec{AB}} = \frac{1}{5,39} \cdot (-5,2) = (-0,93, 0,37)$

Der Einheitsvektor ist demnach $(-0,93, 0,37)$ mit der Länge $1$:

$|\vec{e}_{\vec{AB}}| = \sqrt{(-0,93)^2 + 0,37^2} \approx 1$

Einheitsvektor Länge

In der obigen Grafik ist der Ortsvektor $\vec{AB}$ (gestrichelt) zu sehen. Dieser zeigt vom Koordinatenursprung auf den Punkt $(-5,2)$. Wird dieser nun parallel zu sich selbst verschoben, so liegt er genau zwischen den beiden Punkten $A$ und $B$ und zeigt von Punkt $A$ auf den Punkt $B$.

Der Einheitsvektor $\vec{e}_{\vec{AB}}$ zeigt in Richtung des Vektors $\vec{AB}$ ist aber auf die Länge $1$ normiert worden. Der Vektor $\vec{AB}$ besitzt hingegen die Länge 5,39. 

Beispiel

Berechne die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(9, 5, 6)$ und $B(7, 4, 4)$.

Zunächst wird der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt:

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (7, 4, 4) - (9,5,6) = (-2,-1,-2)$


Dann wird die Länge berechnet:

Die Länge beträgt damit:   $|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$

Beispiel

Wie sieht der dazugehörige Einheitsvektor aus?

Der Einheitsvektor hat die Länge $1$. Um diesen zu ermitteln muss der Vektor $\vec{AB} = (-2,-1,-2)$ durch seine Länge geteilt werden:

 $\vec{e_{AB}} = (-2,-1,-2) \cdot \frac{1}{3} = ( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$

Die Länge des Einheitsvektors beträgt $1$:

$|\vec{e_{AB}} | = \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2} = 1$

Video: Einheitsvektor, Länge von Vektoren

Die Bestimmung des Einheitsvektors sowie der Länge von Vektoren wird in diesem Abschnitt vorgenommen.
Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Berechne die Länge des Vektors zwischen den Punkten A(4, 8, 2) und B(6, 6, 1)

|AB| =
0/0
Lösen

Hinweis:

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Autor: Jessica Scholz

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    "Kurz und kapp,werden die Inhalte (wesentliche und wichtige) verständlich erklärt. "

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    "Hätte ich das nur während dem Abi damals gewusst :D Ich war damals aber auch faul, sehr gut das man hier an den Basics anfängt und Schritt für Schriit nochmal alles erklärt bekommt =)))"

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