Darstellungsarten ebener Kurven

Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Das Kapitel Darstellungsarten ebener Kurven in unserem Online-Kurs Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen besteht aus folgenden Inhalten:

1. Darstellungsarten ebener Kurven

   Darstellungsarten ebener Kurven

   

   Mithilfe der im Kurs "Höhere Mathematik I" erlernten Mittel der Differential- und Integralrechnung sollen nun die geometrischen Eigenschaften einer Kurve untersucht werden.In der Vektoranalysis können ebene Kurven auf insgesamt vier verschiedene Arten dargestellt werden. Kurven in der Ebene:1. Explizite (kartesische) Darstellung $\ y = f (x), a \le x \le b $,2. implizite (kartesische) Darstellung $\ F(x,y) = 0$,3. Polarkoordinatendarstellung $\ r = r(\varphi), \varphi_0 \le \varphi ...

2. Kurseinführung

   Darstellungsarten ebener Kurven > Kurseinführung

   

   ... Kurses werden wir Sie mit den Grundlagen der Darstellungsarten ebener Kurven vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt auf die oben genannten Themen eingehen. Die einzelnen Kurstexte sind übersichtlich gestaltet und mit einer Vielzahl an Grafiken und Beispielen versehen. Außerdem werden wir Ihnen mithilfe von Lernvideos die einzelnen Themen nochmals näher erläutern. Sie haben jederzeit die Möglichkeit Ihren Umgang mit Definitionen, ...

3. Implizite und explizite Darstellung

   Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung

   

   Explizite DarstellungIm Kurs Höhere Mathematik I wurde eine Funktion in Form $y = f(x)$ dargestellt. Das bedeutet, dass diese Funktion nach der Variablen $y$ aufgelöst ist. Man spricht in diesem Fall von einer expliziten Darstellung.Da bei dieser Darstellungsform jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert zugeordnet wird, können einfache und häufig notwendige Kurven wie Ellipsen oder Kreislinien nicht geschlossen dargestellt werden (zu jedem $x$-Wert existieren mehrere $y$-Werte), d.h. ...

4. Polarkoordinatendarstellung

   Darstellungsarten ebener Kurven > Polarkoordinatendarstellung

   

   Oft ist es hilfreicher Kurven anstelle von kartesischen Koordinaten [$\ x(t)=.. $ bzw, $ y(t)=.. $] als Polarkoordinaten darzustellen.Hierbei wird der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:$r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$PolarkoordinatendarstellungMan kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher ...

5. Parameterdarstellung

   Darstellungsarten ebener Kurven > Parameterdarstellung

   

   Es ist häufig nicht möglich beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis).ParameterdarstellungAbhilfe ...