Funktionen mehrerer Veränderlicher

Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Das Kapitel Funktionen mehrerer Veränderlicher in unserem Online-Kurs Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen besteht aus folgenden Inhalten:

1. Funktionen mehrerer Veränderlicher

   Funktionen mehrerer Veränderlicher

   

   Reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen sind in der Mathematik von großer Bedeutung, da sich beinahe sämtliche Problemstellungen aus Wirtschaft und Wissenschaft nicht anhand von Funktionen mit nur einer Variablen lösen lassen. Eine reellwertige Funktion mit $n$ Veränderlichen ist eine Abbildung der Form$\ f : P = (x_1,x_2,.....,x_n) \in D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow y = f (P) \in \mathbb{R}$.Die $\ x_i ( i = 1,2,....n) $ sind unabhängige Veränderliche. ...

2. Höhen- und Schnittlinien

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Höhen- und Schnittlinien

   

   Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde, kann man die dreidimensionale Sicht wählen um eine Funktion mit zwei Variablen darzustellen. Dies stellt allerdings in der Praxis ohne eine geeignete Software ein Problem dar. Deshalb muss versucht werden eine Funktion mit zwei Variablen anders darzustellen. Als Ausweg kann man die sogenannte Parameterdarstellung wählen. Bei dieser wird nur eine Variable wirklich als Variable genutzt, indem allen anderen Variablen ein fester Wert zugeordnet ...

3. Stetigkeit und Unstetigkeit

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Stetigkeit und Unstetigkeit

   

   Wie bei Funktionen mit einer Variablen kann auch für Funktionen mit mehreren Variablen die Stetigkeit definieren. Man kann dies aus der bereits in "Höhere Mathematik I" erlernten Definition ableiten:Eine Funktion  $f$  mit  $x \in D_f$  heißt an der Stelle  $(x_0, y_0)$  stetig, wenn$(x_0, y_0) \in D_f$$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}  f(x,y)  = G$   mit  $G \in \mathbb{R}^2$$G = f(x_0, y_0)$.In Worten: Eine Funktion ...

4. Partielle Ableitung

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung

   

   Die meisten wirtschaftlichen und wissenschaftlichen Vorgänge sind von mehreren Parametern abhängig und werden deshalb dementsprechend mathematisch modelliert. Es ergeben sich Funktionen von mehreren reellen Variablen. Um jedoch aus diesem Modell die Funktion einer Veränderlichen zu erhalten ist es notwendig sich auf einen der Parameter zu konzentrieren, der als unabhängige Variable angesehen wird und alle übrigen Parameter als konstant anzusehen. Dieses Vorgehen nennt ...

5. Partielle Ableitung erster Ordnung

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung erster Ordnung

   

   Möchte man eine stetige Funktion $ z = f(x,y)$ mit zwei unabhängigen Variablen $ x, y $ partiell differenzieren, so muss man eine der Variablen konstant halten und die andere differenzieren. Dies gilt für $ x $ und auch für $ y $.Mit $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = \dot{f_x}(x, y) = \dot{z_x} $ erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $x$, In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt.Mit $\frac{\partial z}{\partial y} ...

6. Partielle Ableitung höherer Ordnung

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung

   

   Lassen sich die Ableitungen $\ f_x(x,y)$ und $\ f_y(x,y)$ einer differenzierbaren Funktion ebenfalls differenzieren, so kann man auch die Ableitung 2. Ordnung bilden. Lässt sich dieser Vorgang mehrfach wiederholen so spricht man von partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung.Ableitungen 2. Ordnung: $\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}  f (x,y)= f_{xx} (x,y), $$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f (x,y) ...

7. Totales Differential

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential

   

   Ändern sich die einzelnen Variablen $\ x_1,... x_n $ eines stetig differenzierbaren Funktionswertes $\ y $ zeitgleich, so beschreibt das totale Differential $\ dy $ die Summe aller einzelnen marginalen Änderungen von $\ x_1,...x_n $.In der Volkswirtschaftslehre sind ökonomische Vorgänge oft durch die gleichzeitige Änderung mehrerer Variablen gekennzeichnet. Ein Instrument, welches hierfür beinahe exemplarisch steht, ist das IS/LM-Modell zur gesamtheitlichen Erfassung ...

8. Gradient einfach berechnen

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Gradient einfach berechnen

   

   Bestimmung von Höhen mit Gradienten Der Gradient $ \text{grad} \ f (\vec{x}_0) $ ist ein Vektor der Funktion $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung.Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, ...

9. Richtungsableitung

   Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung

   

   Hier erklären wir dir anschaulich die allgemeine Bestimmung der Richtungsableitung sowie Bestimmung der Richtungsableitung mit dem Gradienten.Die Richtungsableitung gibt an, wie sich die Funktionswerte einer gegebenen Stelle ändern, wenn man sich von dort in eine bestimmte Richtung bewegt.Richtungsableitung - was ist das?Haben wir zum Beispiel Funktionen mit nur einer Variablen (z.B. $f(x)$) gegeben, so gibt die Ableitung $f'(x_0)$ an der Stelle $x_0$ an, wie sich der Funktionswert verändert, ...

10. Kettenregel

    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel

    

    Exkurs Höhere Mathematik 1Funktionen, deren Argumente erneut Funktionen sind, lassen sich differenzieren. Man differenziert dabei kettenartig, also zunächst nach dem Argument und multipliziert das Ergebnis mit der Ableitung des Arguments nach der gesuchten Variablen.Die Kettenregel für  $ y = F_1 (F_2) $ mit $ F_2 = F_2 (x) $  lautet $\frac{d_y}{d_x} = \frac{d F_1 ( F_2)}{d F_2} \cdot {d F_2 (x)}{dx} $ . Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher wird die Kettenregel ...

11. Extremwerte

    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte

    

    Sollen in der Mathematik Extremwerte von Funktionen mit mehreren Veränderlichen bestimmt werden, unterscheidet man zwischen Extremwerten mit und ohne Nebenbedingungen. Die zur Bestimmung von Extremwerten notwendige Bedingung ist, dass alle 1. partiellen Ableitungen der Veränderlichen Null sein müssen. Denn selbst wenn bei n= 100 Veränderlichen nur eine 1. partielle Ableitung ungleich Null ist, existiert eine, vielleicht auch nur minimale, positive oder negative Steigung, womit ...

12. Extremwerte ohne Nebenbedingungen

    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte ohne Nebenbedingungen

    

    In der Mathematik ist oft von hohem Interesse zu erfahren, ob in Kurvenverläufen lokale Maxima oder Minima existieren. Hieraus lassen sich Aussagen bezüglich des Verhaltens einer Funktion treffen. Eine Funktion $ z = f(x,y) $hat an der Stelle $ (x_0,y_0) $ ein lokales Extremum wenn folgendes gilt:$\ f_x(x_0,y_0) = 0 $ und $ f_y(x_0,y_0) = 0 \rightarrow $ Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind im gewählten Punkt beide gleich Null. $\triangle (x_0,y_0) = f_{xx}(x_0,y_0) ...

13. Extremwerte mit Nebenbedingungen

    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen

    

    Nun kommen wir zur Bestimmung von Extremwerten von Funktionen, welche an Nebenbedingungen gebunden sind. Zur Lösung dieses mathematischen Problems können zwei verschiedene Vorgehensweisen gewählt werden. Das erste und einfachere Verfahren ist das Einsetzen. Hierbei ist es möglich die Nebenbedingung $\ G(x,y)= 0 $ derart in die Funktion $\ w = f(x,y) $ einzusetzen, dass eine der Variablen wegfällt und man anschließend nur noch die Funktion anhand einer Veränderlichen ...

14. Verfahren durch Einsetzen

    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen > Verfahren durch Einsetzen

    

    Das erste und einfachere Verfahren ist das Einsetzen. Hierbei ist es möglich die Nebenbedingung $\ G(x,y)= 0 $ derart in die Funktion $\ w = f(x,y) $ einzusetzen, dass eine der Variablen wegfällt und man anschließend nur noch die Funktion anhand einer Veränderlichen nach Extremwerten untersuchen muss.Gegeben sei ein Rechteck $z = f(x,y) = xy$ mit der Nebenbedingung $g(x,y) = 2x + 2y - u = 0$ Wobei $u$ ein vorgegebener Umfang sein soll. Maximiere das Rechteck!Die Nebenbedingung ...

15. Verfahren von Lagrange

    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen > Verfahren von Lagrange

    

    Das Verfahren von Lagrange ist ein oft verwendetes Verfahren zur Lösung von Maximierungs- und Minimierungsproblemen in der Volkswirtschaftslehre sowie in der Höheren Mathematik. Hierbei sind diese durch ihre Nebenbedingung definiert. Die Lagransche Hilfsfunktion besteht aus der Zielfunktion und der Nebenbedingung:$\ L(x,y, \lambda) := f(x,y) + \lambda G(x,y) $.Ziel ist es die $ (x,y)$ zu finden, für die $\ L_x = L_y = L_{\lambda} = 0 $ sind. Aus diesen ...