Das Kapitel Gewöhnliche Differentialgleichungen in unserem Online-Kurs Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen besteht aus folgenden Inhalten:
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen
In der Mathematik spricht man bei einer Gleichung, deren Ableitungen lediglich von einer Variablen abhängig sind, von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im anderen Fall spricht man von der bisher bekannten partiellen Differentialgleichung.Zudem lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung auch nach Merkmalen kategorisieren, die in der folgenden Übersicht aufgelistet sind:FormHierbei stellt $\ F(x,y,y',... y^{(n)} ) = 0 $ die implizite Form einer ...
Richtungsfeld und Isoklinen
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Thema dieses Kurstextes sind das Richtungsfeld und die Isoklinen. RichtungsfeldIst eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung gegeben, also $\ y' (x) = F(x,y(x)), $ so lässt sich in einem Koordinatensystem ein Richtungsfeld erzeugen. Dieses Richtungsfeld besteht aus Punkten $ (x,y) $ denen in der Ebene ein Vektor mit der Steigung $ F(x,y) $ zugeordnet wird. Jeder dieser Vektoren gibt an, welche Richtung der Graphen der Differentialgleichung hätte, sofern ...
Anfangswertprobleme formulieren und lösen
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Ein Anfangswertproblem liegt vor, wenn gefordert wird, dass die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung durch einen festgelegten Punkt $ \ (x_0,y_0)$ verlaufen soll. Diese Bedingung ist neu, da bisher gefordert wurde, alle Lösungen der Differentialgleichung zu finden. Ein allgemeines Anfangswertproblem hat die Form$\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.Die Lösung dieses Anfangswertproblems ...
Die Mathematiker Picard und Lindelöf haben sich beinahe zeitgleich, aber dennoch unabhängig voneinander mit der eindeutigen Lösung von Anfangswertproblemen beschäftigt. Hieraus entstanden letztlich der Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf und das Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren. Auf Beides wird im Folgenden eingegangen.
Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
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Der Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf kann in zwei Versionen betrachtet werden. Man unterscheidet die lokale von der globalen Version. Die Voraussetzung dieser Versionen ist immer die Stetigkeit der rechten Seite und das Bestehen einer Lipschitz-Bedingung. Lipschitzbedingung (global)$f$ genügt in $G \subseteq \mathbb{R}^2$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ mit $L \ge 0$:$ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $ für alle $(x, y_1), \; ...
Eine Funktion, welche den Eindeutigkeitssatz erfüllt, und somit auch die Lipschitzbedingung mit Lipschitzkonstante L erfüllt, kann iterativ gelöst werden. Hierzu formt man das Anfangswertproblem in eine Integralgleichung um. $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt $ mit $y(x_0) = y_0$Nach dieser Umformung ist es möglich die Integralgleichung iterativ zu lösen, womit man zum Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren gelangt.Man ...
Nach Abbruch des Iterationsverfahrens von Picard-Lindelöf wird in diesem Abschnitt gezeigt, wie man eine approximierte Potenzreihe aus der ermittelten Polynomfunktion bildet. Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, wird im nächsten Abschnitt gezeigt, wie man diesen Fehler abschätzt.Approximierte PotenzreiheDie entstandene Polynomfunktion nach dem 3. Iterationsschritt kann man auch als approximierte Potenzreihe schreiben. Die Polynomfunktion ...
Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, soll im folgenden gezeigt werden wie man diesen Fehler abschätzt.Die Folge $y_n$ konvergiert auf dem Intervall $I$ gleichmäßig gegen die Lösung $y$:$|y(x) - y_n(x)| \le \frac{(\alpha L)^n}{n!} e^{\alpha L} \max\limits_{x \in I} |y_1(x) - y_0(x)|$Die Fehlerabschätzung erfolgt, indem wir die Lipschitzkonstante innerhalb eines Intervalls festlegen. Das Intervall muss noch bestimmt werden. Das Intervall ...
Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
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Obwohl die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung $\ y' = f(x,y) $ problematisch ist, existieren bestimmte Typen, welche durch Integration gelöst werden können. Die nachfolgend genannten Typen werden in den folgenden Abschnitten behandelt:Differentialgleichungen mit getrennten Variablen,Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung,Bernoulli Differentialgleichungen,Ricatti Differentialgleichungen, und exakte Differentialgleichungen. Abschließend wird ...
Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
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Eine Differentialgleichung, welche die Form$ y' = f(x) \cdot g(y) $ Trennung der Veränderlichen T.d.Vbesitzt, nennt man Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Um hieraus Lösungen zu erhalten, bedient man sich der Methode der "Trennung der Veränderlichen":$\ y' = \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx $.Aus ...
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
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In diesem Abschnitt wird die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung behandelt. Diese besitzt die Form:$y' + a(x) \; y = r(x)$ lineare DGL 1. OrdnungDie Gesamtlösung einer linearen Differentialgleichung ist:$y = y_S + y_H$ Gesamtlösungmit$y_H $ Gesamtlösung ...
Spezielle Differentialgleichungen
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In der Mathematik existieren eine Reihe von speziellen Differentialgleichungen, die mit den bisher kennengelernten Lösungsverfahren kein analytisches Resultat liefern. Da für diese Typen keine analytische Lösungsmöglichkeit besteht, wurden Variablentransformationen entwickelt, mit deren Hilfe ein solches System in den gewohnten Typ einer Differentialgleichung überführt werden kann. Dieser Transformationsprozess sei anhand der Bernoulli und der Riccati Differentialgleichung ...
Bernoulli Differentialgleichung
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Den Anfang macht die Bernoulli Differentialgleichung, welche die Form$ y' + a(x)y = r(x) y^{\alpha}$ Bernoulli Differentialgleichungmit$\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \not= 0, 1 $besitzt.Diese Differentialgleichung wird in einem nächsten Schritt durch $y^{\alpha}$ geteilt bzw. mit $y^{-\alpha}$ multipliziert. Dies führt zu der Form:$y^{-\alpha} \cdot y' + a(x) y^{ 1 - \alpha} = r(x)$SubstitutionDurch Substitution lässt sich diese Differentialgleichung ...
Ricatti Differentialgleichung
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Die Riccati Differentialgleichung besitzt die Form$\ y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x) $. Hierbei ist ein generelles Lösungsverfahren nicht bekannt. Hat man es jedoch geschafft eine spezielle Lösung für $ y_1 $ zu ermitteln. Lässt sich auch diese Differentialgleichung durch Substitution in eine lineare Differentialgleichung in $ u $ überführen. SubstitutionMan substituiert zuerst $ u = \frac{1}{y-y_1} $. Aus dieser Substitution erhält man für ...
Exakte Differentialgleichung
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Eine exakte Differentialgleichung hat die Form$p(x, y) + q(x,y) \frac{dy}{dx} = 0$ bzw. $p(x, y) + q(x,y) y´ = 0$mit $p(x,y) = M$ und $q(x,y) = N$Ist eine solche exakte Differentialgleichung gegeben, dann muss es zu jeder Lösung eine Konstante $c$ geben, so dass die implizite Gleichung$F(x,y) = c$ erfüllt ist.Ihre Stammfunktion $F(x,y)$ ist eine stetig differenzierbare Funktion für die gilt$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = p(x,y)$und$\frac{\partial ...
Integrierender Faktor
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Der Integrierende Faktor, auch Eulerscher Multiplikator genannt, kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Differentialgleichung nicht exakt ist. Er macht die Differentialgleichung exakt und erlaubt dadurch diese direkt zu integrieren. Der integrierende Faktor ist eine Funktion der Form $\mu(x,y) $.Vorgehensweise für die Bestimmung des integrierenden FaktorsAusgangssituation: $\ p_y (x,y) \not= q_x (x,y) $1. Ansatz um die Differentialgleichung exakt zu machen:$ \mu(x,y) p(x,y)\ dx + \mu(x,y)q(x,y)\ ...
Eine Differentialgleichung höherer Ordnung hat die Form$\ y^{n} + a_{n-1} (x)y^{(n-a)} + ..... + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = g(x), x \in \mathbb{I}$.Die Koeffizientenfunktionen $ a_k (x) $ sowie die Störfunktion $ g(x) $ sind beide auf dem Intervall $\mathbb{I} $ stetig.Ist die Störfunktion $ g(x) \equiv 0 $ so bezeichnet man diese Differentialgleichung als homogen, ist die Störfunktion hingegen $ g(x) \not\equiv 0 $ so handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung.Gesamtlösung ...
Es wurde bereits kurz erwähnt, dass eine homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung die Form$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = r(x), x \in \mathbb{R}$ besitzt.Dass $\ a_K (x)$ die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass $\ r(x) $ für die Störfunktion steht, ist auch bekannt. Die Grundvoraussetzung für das Vorliegen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist $\ r(x) \equiv 0 $. Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die ...
Wir haben bereits erfahren, dass die allgemeine Lösung, bzw. die Lösungsgesamtheit einer linearen Differentialgleichung aus den Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung $ y_H $ und der Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ besteht. Sind die Lösungen $ y_H = c_1y_1 + ... c_ny_n $ der homogenen Differentialgleichung bekannt, so lässt sich auch eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmen. Grundlagen ...
Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten