Kurveneigenschaften im ebenen Raum

Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Das Kapitel Kurveneigenschaften im ebenen Raum in unserem Online-Kurs Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen besteht aus folgenden Inhalten:

1. Tangentenvektor

   Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Tangentenvektor

   

   In diesem Abschnitt wird zunächst gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.EinführungZu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man ...

2. Hauptnormalenvektor

   Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Hauptnormalenvektor

   

   Der Hauptnormalenvektor ist in einem bestimmten Punkt auf einer Kurve der Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve. EinführungIst der Tangentenvektor $\vec{t}(t) \not= \vec{0} $ in einem Kurvenpunkt $ (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) $, so entsteht der Normalenvektor $\vec{n}(t)$ ...

3. Bogenlänge berechnen

   Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Bogenlänge berechnen

   

   Die Länge $L$ einer Kurve $K$ innerhalb eines Intervalls $I \in [a, b]$ lässt sich durch ein Kurvenintegral errechnen. Die formale Schreibweise ist: $\ L = \int\limits_a^b  ds $ Hierbei steht das $ds $ für das Bogenelement, welches immer von der Darstellung der Kurve abhängig ist. Die Darstellung kann entweder kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen ...

4. Krümmungsradius

   Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsradius

   

   Bevor die Krümmung einer Kurve bestimmt wird, wird definiert was der Krümmungskreis einer Kurve ist. Der Krümmungskreis zu einem bestimmten Punkt $P$ einer ebenen Kurve ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt $M_0$. Der Krümmungsradius des Krümmungskreises wird wie folgt bestimmt:$r = |\frac{(1 + ...

5. Krümmungsmittelpunkt / Krümmung

   Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsmittelpunkt / Krümmung

   

   Die Krümmung  $\kappa$  einer Kurve $\ K $ ist ein Maß für die Abweichung vom geradlinigen Verlauf der Kurve. Da ein Kreis in jedem Punkt dieselbe Krümmung besitzt, wird dieser verwendet um die Krümmung eines bestimmten Punktes einer Kurve zu bestimmen. Für die Krümmung in der Ebene gilt (Parameterdarstellung):$\kappa (x) =  \frac{f´´(x)}{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}$bzw. der Betrag von $\kappa$ hat folgenden Zusammenhang ...

6. Evolute berechnen

   Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolute berechnen

   

   Im vorherigen Abschnitt wurde der Krümmungskreis und sein Krümmungsmittelpunkt vorgestellt. Die Evolute einer ebenen Kurve ist die Bahn auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn ein Punkt auf der Kurve entlang wandert. Die Kurve aller Mittelpunkte der Krümmungskreise einer gegebenen Kurve nennt man Evolute.Formal: $\vec{x}_M = \vec{x} + \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$. Die Tangenten der Evolute ...

7. Evolvente berechnen

   Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen

   

   Eine Evolvente entsteht bei der Abwicklung der Evolutentangente von der Evolute. Das bedeutet also, dass die Endpunkte der Evolutentangenten in einem bestimmten Punkt die Evolvente ergeben.  Tangenten der EvolutenWie bereits aus den vorherigen Abschnitten bekannt, stehen Normale und Tangenten der Kurve senkrecht zueinander (im 90°-Winkel). Die Tangente der Evolute steht senkrecht (im 90°-Winkel) zur Tangente der Kurve. Daraus folgt, dass die Tangente der Evolute parallel zur Normalen ...