Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Das Kapitel Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum in unserem Online-Kurs Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen besteht aus folgenden Inhalten:

  1. Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    Spirale im Raum
    Eine Raumkurve ist eine stetige differenzierbare Abbildung $\ a: I \rightarrow \mathbb{R} $ eines Intervalls.$ I = (a, b) \in \mathbb{R}$  im Raum $\mathbb{R}^3 $.Zur Untersuchung von Raumkurven bietet von den bisher vorgestellten Darstellungsformen die Parameterdarstellung die größten Vorteile. Dabei wird ein Parameter $\ t \in I = (a,b) $ auf einen Punkt im Raum mit drei stetig differenzierbaren Funktionen $\ x\ ,y\ ,z $ abgebildet. $\alpha (t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) ...
  2. Tangentenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Tangentenvektor im Raum
    Zu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $  im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt:$\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$, $\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$$\dot{\vec{z}}(t) ...
  3. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    Der Hauptnormalenvektor ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch:$\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge.In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet:$\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$Hauptnormalenvektor ...
  4. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    Der Binormalenvektor $\vec{b}(t)$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von Tangenteneinheitsvektor $\vec{t}_e (t)$ und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$,$\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$.mit $\vec{r}(t)$ als Raumkurve.Das Vektorprodukt $\vec{b}(t)$ zweier Vektoren $\vec{t}_e (t), \; \vec{n}(t) \in \mathbb{R}^3$ hat die Eigenschaft, dass $\vec{b}(t)$ ...
  5. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Der Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$, der Hauptnormalenvektor  $\vec{n}(t)$  und der Binormalenvektor  $\vec{b}(t)$  bilden zusammen$\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$,die Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3 $. Man nennt dieses Vektorentripel das begleitende Dreibein der Kurve an der vorgegebenen Parameterstelle $\ t$. Die drei Ebenen des begleitenden DreibeinsDurch das begleitende Dreibein werden für die Kurve $\vec{r}(t)$ im Kurvenpunkt  $\vec{x}_0 ...
  6. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    Es besteht die Möglichkeit eine Kurve, die in Parameterdarstellung $t$ gegeben ist, in eine Kurve mit Bogenlänge $s$ umzuwandeln. Dies soll im Folgenden gezeigt werden.Mit folgender Formel kann man zwischen der Parameterbelegung $t$ und der Bogenlänge $s$ wechseln:$ ds = |\dot{\vec{r}}(t)| dt = \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt = s$wobei $\vec{r} (t) $ die Raumkurve darstellt.In Worten: Man berechnet die Bogenlänge $s$ indem man die Raumkurve einmal ableitet. Es entsteht ...
  7. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    In diesem Kurstext thematisieren wir nacheinander die Krümmung und Torsion im Raum.KrümmungAuch im dreidimensionalen Raum ist die Krümmung ein Maß für Abweichung der Kurve $r(t)$ von einer Geraden. Jedoch ist es hier nicht mehr sinnig von einer Links- oder Rechtskrümmung zu sprechen. Der Krümmungsbegriff im Raum ist $ |\vec{r}''(s)| = \kappa \ge 0$. Bezieht man die Krümmung auf eine allgemeine Parameterdarstellung $\vec{r} = \vec{r}(t) $ so ist$\kappa ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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