Differentialrechnung

Analysis und Lineare Algebra

Das Kapitel Differentialrechnung in unserem Online-Kurs Analysis und Lineare Algebra besteht aus folgenden Inhalten:

1. Ableitungen

   Differentialrechnung > Ableitungen

   

   ... Kapitel wird auf die einzelnen Bereiche der Differentialrechnung eingegangen.

2. Ableitungen erster Ordnung

   Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen erster Ordnung

   

   Ableitungen, bzw. Differentialquotienten, werden aus der Stammfunktion erzeugt. Die Ableitung erster Ordnung gibt die Änderung der Stammfunktion an, d.h. sie gibt Auskunft über die Steigung der Funktionskurve.Liegt eine Funktion $\ f$ auf dem Intervall $\ I \subseteq \mathbb{R}$ und ist $\ x_0 \in I$, so ist $\ f$ in $\ x_0$ differenzierbar, wenn der Grenzwert   $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - ...

3. Ableitungen höherer Ordnung

   Differentialrechnung > Ableitungen > Ableitungen höherer Ordnung

   

   Existiert eine differenzierbare Funktion $\ f(x)$ und besitzt diese zudem eine differenzierbare Ableitung $ f'(x)$, so ist $f$ zweimal differenzierbar.Die 2. Ableitung schreibt sich $ f''(x) := (f'(x))'$Ist die Funktion $f^{(n)}$ mehrfach differenzierbar, so spricht man von der  $n$-ten Ableitung von $ f $.Man berechne die 2. Ableitung von $ f(x) = x^3 + 3x^2 $Man erhält in 2 Schritten:I $\rightarrow f'(x)=3x^2 + 6x$II $\rightarrow f''(x)= 6x + 6$Die Vorgehensweise des Differenzierens ist ...

4. Wendepunkte

   Differentialrechnung > Wendepunkte

   

   Ein Wendepunkt ist der Punkt $(x, y)$ an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt.Einen Wendepunkt bestimmt man, indem man die 2. Ableitung $f´´(x)$ gleich Null setzt und nach $x$ auflöst. Den sich ergebenden $x$-Wert setzt man in die 3. Ableitung $f´´´(x)$  ein:Für einen Wendepunkt an der Stelle ...

5. Extremwerte

   Differentialrechnung > Extremwerte

   

   Extremwerte$f(x)$  hat bei (1) ein Maximum.  Es handelt sich hierbei um ein globales (absolutes) Maximum,  denn das Maximum stellt den höchsten Punkt der Funktion dar.$f(x)$  hat bei (2) ein lokales (relatives) Minimum, denn es handelt sich um den tiefsten Punkt in diesem Bereich, allerdings nicht um den tiefsten Punkt der Funktion.$f(x)$  hat bei (3) ein lokales (relatives) Maximum.$f(x)$  hat bei (4) ein Minimum. Das ...

6. Ableitungsregeln

   Differentialrechnung > Ableitungsregeln

   

   Elementare Funktionen sind an allen Stellen an denen sie definiert sind auch differenzierbar. Hierbei geht man selten auf die Definitionen zurück. Stattdessen benutzt man Ableitungsregeln, um auch aufwendige Funktionen differenzieren zu können.Im Folgenden eine Übersicht der Ableitungsregeln:Summenregel$\ (u + v)' = u' + v' $Gegeben sei die Funktion $f(x) = 5x^2 + 3x$$(u + v)' = (5x^2 + 3x)´ = 10x + 3$$u' + v' = (5x^2)´ + (3x)´ = 10x + 3 $$\ (ru)' = ru' $     ...

7. Ableitung der Elementaren Funktionen

   Differentialrechnung > Ableitung der Elementaren Funktionen

   

   Wurzelfunktion$f(x) = \sqrt{x} \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$Anders:  $f(x) = \sqrt{x}  =  x^{\frac{1}{2}} \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$Logarithmus- und Exponentialfunktion:Die Exponentialfunktion  $e^x$  und der natürliche Logarithmus  $\ln|x|$  sind differenzierbar und es gilt:$f(x) = e^x \; \rightarrow \; f´(x) = e^x$$f(x) = \ln|x| ...

8. Mittelwertsätze

   Differentialrechnung > Mittelwertsätze

   

   Der Mittelwertsatz besagt geometrisch: Eine differenzierbare Funktion  $f : [a, b] \in \mathbb{R}$  besitzt eine Tangente durch einen Punkt des Funktionsgraphen mit derselben Steigung wie die Sekante welche durch die beiden Punkte  $(a, f(a))$ und  $(b, f(b))$  des Funktionsgraphen geht.Genauer gilt:Ist die Funktion $f$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig und auf dem offenen Intervall $(a, b)$ differenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt ...

9. Monotone Funktionen

   Differentialrechnung > Monotone Funktionen

   

   ... des MonotonieverhaltensBesonders in der Differentialrechnung sind Aussagen bezüglich des Monotonieverhaltens wichtig:Eine auf einem Intervall  $I$  stetig differenzierbare Funktion ist genau dann streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wenn die 1. Ableitung:- nirgendwo negative Werte (bzw. positive Werte) aufweist- auf keinem echten Teilintervall gleich Null ist.Gegeben sei die Funktion: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x$. Aus ...

10. Konkave und konvexe Funktionen

    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen

    

    Eine reellwertige Funktion heißt konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.Eine reellwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ...

11. Nachweis Konkavität und Konvexität auf direktem Weg

    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität auf direktem Weg

    

    Gegeben sei die folgende Funktion:$F(x) = 10x - 4x^2$Handelt es sich hierbei um eine konkave oder konvexe Funktion bzw. liegt keines von beiden vor?Die Funktion wird nun wie folgt aufgestellt:$x = \lambda x + (1 - \lambda) y$Einsetzen für $x$ ergibt dann:$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) = 10 (\lambda x + (1 - \lambda) y) - 4 (\lambda x + (1 - \lambda) y)^2$Es werden nun nach und nach die Klammern auf der rechten Seite aufgelöst und die Variablen zusammengefasst. Die Klammern mit ...

12. Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation

    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation

    

    Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.Konkave FunktionEine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R} $ gilt: $F''(x) \le 0$.Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner gleich null ...

13. Regel von de l' Hospital

    Differentialrechnung > Regel von de l' Hospital

    

    Guillaume François Antoine de l’Hospital führte im 17. Jahrhundert  die Differential– und Integralrechnung in Frankreich ein. Mithilfe der Regel von de l'Hospital lassen sich Grenzwerte von Quotienten bestimmen. Die Regel kann angewendet werden, wenn Nenner und Zähler entweder beide gegen Null $[\frac{0}{0}]$  oder beide gegen Unendlich $[\frac{\infty}{\infty}]$ streben. Regel 1: Die Funktionen  $f(x), g(x)$  gelten an ...

14. Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton

    Differentialrechnung > Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton

    

    Das Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung von Newton dient dazu, zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Näherungswerte zur Lösung der Gleichung   $f(x) = 0$  (also Nullstellen der Funktion) zu finden. Das Näherungsverfahren wird angewandt, weil direkte Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen nicht oder nur mit sehr großem Aufwand anwendbar sind. Die grundlegende Idee des Newtonverfahrens ...