Analysis und Lineare Algebra

Das Kapitel Elementare Funktionen in unserem Online-Kurs Analysis und Lineare Algebra besteht aus folgenden Inhalten:

  1. Elementare Funktionen
    Elementare Funktionen
    In der Mathematik sprechen wir von einer Funktion oder Abbildung, wenn zwischen zwei Mengen eine Beziehung besteht, bei der jedem Element der einen Menge ($x$-Wert, unabhängige Variable oder Funktionsargument genannt) genau ein Element der anderen Menge ($y$-Wert, abhängige Variable oder Funktionswert genannt) zugeordnet werden kann.In der Literatur wird der Begriff unterschiedlich definiert. Allgemein wird jedoch davon ausgegangen, dass mathematischen Objekten (z. B. Zahlen, Mengen, geometrische ...
  2. Stetigkeit einer Funktion
    Elementare Funktionen > Stetigkeit einer Funktion
    Stetigkeit - lineare Sprungfunktion
    Stetigkeit von FunktionenEine mathematische Funktion $f$ heißt an der Stelle $x_0$ stetig, wenn:der Funktionswert $f(x_0)$ definiert ist.der Grenzwert $G = \lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ existiert. $\;$ $(G \in \mathbb{R})$der Grenzwert $G$ mit dem Funktionswert $f(x_0)$ übereinstimmt. $\to G = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$Ist eine Funktion an der Stelle $x_o$ nicht definiert, so brauchst du dich nicht zu fragen, ob diese in $x_0$ stetig ist.Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ ...
  3. Grenzwerte von Funktionen
    Elementare Funktionen > Grenzwerte von Funktionen
    Beispiel Grenzwerte
    Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein Grenzwert, so konvergiert die Funktion, anderenfalls divergiert sie.Grenzwert einer reellen Funktion $f$ für $x$ gegen $x_0$: $\;\; \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = G$$x_0$ kann dabei sowohl eine reelle Zahl sein, als auch $+\infty$ oder $-\infty$ annehmen:$x_0 \in \mathbb{R}$: ...
  4. Rationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen
    In diesem Kursabschnitt werden wir die rationalen Funktionen inganzrationale Funktionen undgebrochenrationale Funktionenunterscheiden und deren Eigenschaften betrachten.
  5. Ganzrationale Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen
    Definition einer ganzrationalen FunktionEine ganzrationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist die Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:$f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i$Die reellen Zahlen $a_n, a_{n−1}, . . . , a_0$ mit $a_n \neq 0$ heißen Koeffizienten, die Zahl $n \in \mathbb{N}$ ist der Grad des Polynoms.Gegeben sei die Funktion $f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$. Dies ist eine ganzrationale ...
  6. Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Nullstellen ganzrationaler Funktionen
    Nullstellen
    Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion $f(x)$ diejenige Zahl $x_0$, für die $f(x_0) = 0$ gilt. Grafisch sieht dies folgendermaßen aus.Nullstellen einer Polynomfunktion 3. GradesDort, wo der Graph der Funktion $f(x)$ die $x$-Achse schneidet, liegen die Nullstellen von $f(x)$.  Für lineare Funktionen $(n = 1)$ und quadratische Funktionen $(n = 2)$ ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale ...
  7. Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Ganzrationale Funktionen > Grenzwerte ganzrationaler Funktionen
    image
    Verhalten im UnendlichenDie Grenzwerte ganzrationaler Funktionen für $x \to \pm \infty$ sind $+ \infty$ sowie $- \infty$ und werden im Allgemeinen durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad $n$ einer Funktion gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient $a_n$ besitzt. Verhalten im UnendlichenÜberblick zu den Grenzwerten ganzrationaler FunktionenFür $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} ...
  8. Gebrochenrationale Funktionen
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    Eine Funktion wird als gebrochenrationale Funktion bezeichnet, wenn sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet:gebrochenrationale Funktion: $f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$ gebrochenrationale Funktion: $y = \frac { x^4 + x^3 + x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$AsymptotenEine Asymptote (altgr. asymptotos = nicht übereinstimmend) ist eine "einfache" Funktion, zumeist eine Gerade, an die sich ...
  9. Echt/unecht gebrochenrationale Funktion
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Echt/unecht gebrochenrationale Funktion
    Echt gebrochen/unecht gebrochenrationale FunktionIst der Grad $m$ des Nenners größer als der Grad $n$ des Zählers, so heißt die rationale Funktion $f(x)$ echt gebrochen.echt gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^4 +3 x + 3}$Ist hingegen der Grad $m$ des Nenners kleiner oder gleich dem Grad $n$ des Zählers, so heißt die Fuktion unecht gebrochen. unecht gebrochene Funktion: $f(x) = \frac{x^3 + 5x^2 + 3x + 5}{x^2 +5x + 12}$ echt ...
  10. Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Nullstellen und Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen
    Definitionslücke
    Nullstellen bei gebrochenrationalen FunktionenWie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen schon erwähnt haben, wird zur Ermittlung der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen der Zähler herangezogen. Der Zähler der gebrochenrationalen Funktion wird gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Allerdings muss vorher noch geprüft werden, ob der Nenner bei diesem $x$-Wert null wird, weil sonst eine hebbare Definitionslücke vorliegt (siehe folgenden Unterabschnitt: ...
  11. Hebbare Definitionslücke
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Hebbare Definitionslücke
    Hebbare Definitionslücke, Nullstelle, gebrochen rationale Funktion
    Wie schon mehrmals erwähnt ist eine hebbare Definitionslücke gegeben, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler für einen bestimmten Wert für $x_0 = 0$wird. Der Begriff hebbar bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Definitionslücke behoben und damit der Definitionsbereich erweitert werden kann.Vorgehensweise:Nullstellen des Nenners bestimmen.Nullstellen des Zählers bestimmen: Resultiert dieselbe Nullstelle wie im Nenner, liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke ...
  12. Asymptoten
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Asymptoten
    senkrechte Asymptote
    Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion annähert, ohne dass sich beide in ihrem Verlauf irgendwo berühren. Betrachten wir eine beliebige gebrochenrationale Funktion:$f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$Senkrechte AsymptoteSenkrechte Asymptoten befinden sich, wie wir im Kurstext Gebrochenrationale Funktionen bereits erwähnt haben, an Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion. ...
  13. Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktionen > Gebrochenrationale Funktionen > Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen
    In diesem Abschnitt zeigen wir dir die Berechnung von Grenzwerten bei gebrochenrationalen Funktionen. Möchten wir das Verhalten von Funktionen im Unendlichen herausfinden, müssen wir die beiden Fälle $x \to + \infty$ und $x \to - \infty$ betrachten:$lim_{x \to + \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$$lim_{x \to - \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$Für ...
  14. Wurzelfunktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Wurzelfunktionen
    Die Wurzelfunktion ist eine algebraische, jedoch nichtrationale Funktion. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.Die allgemeine Form der Wurzelfunktion lautet:allgemeine Wurzelfunktion: $f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \;\;\;\; | x \in \mathbb{R}^+_0 \;$ und $\; n \in \mathbb{N}$Wir bezeichnen$\sqrt[n]{x} \;$ als Wurzel, Radikal oder Radix,$n \;$ als Wurzelexponent und$x \;$ als Radikand.Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten $n$ hebt das Potenzieren mit dem Exponenten $n$ auf. Wenn ...
  15. Die allgemeine Exponentialfunktion
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die allgemeine Exponentialfunktion
    Die allgemeine Exponentialfunktion ist definiert durch:$y = f(x) = a^x \;\;$ mit $\; \forall \, a \in \mathbb{R}^+ \; \vert a \neq 1 \;$ und $\; \forall \,x \in \mathbb{R} \lor \mathbb{C}$Eine besondere Exponentialfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion $\, f(x) = e^x$, die wir als e-Funktion bezeichnen, also die Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl $\, e = 2,718282... \,$ als Basis. Diese hat gegenüber anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Ihr widmen wir ...
  16. Die e-Funktion
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Exponentialfunktionen > Die e-Funktion
    e-Funktion
    Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion lautet:$f(x) = e^x$Die Zahl $e = 2,718281828459...$ wird Eulersche Zahl genannt. Sie ist durch folgende Grenzwertberechnung definiert:$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2,718281828459...$Die Exponentialfunktion können wir auf verschiedene Weise darstellen. Wir können sie als Potenzreihe definieren, die sogenannte Exponentialreihe:e-Funktion als Exponentialreihe: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} ...
  17. Logarithmusfunktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Logarithmusfunktionen
    Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Ihr Name leitet sich von den griechischen Wörtern lógos = "Verständnis, Lehre" und arithmós = "Zahl" ab. Schon vor Christi Geburt sind entsprechende Berechnungen belegt. Die Bezeichnung Logarithmus wurde von John Napier zu Beginn des 17. Jahrhunderts eingeführt.Einführung in den Logarithmus als Umkehrung der ExponentialfunktionAls Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion bezeichnet ...
  18. Trigonometrische Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen
    Winkelfunktionen
    Trigonometrische Funktionen (gr. trigonon = Dreieck, gr. metron = Maß), auch Winkelfunktionen genannt, dienen in der Mathematik zur Berechnung der Zusammenhänge zwischen Winkeln und Seitenverhältinissen. In den Naturwissenschaften dienen sie als fundamentale Funktionen zur Berechnung periodischer Vorgänge.Die wichtigen trigonometrischen Funktionen sind:Sinusfunktion: $f(x) = sin(x)$Kosinusfunktion: $f(x) = cos(x)$Tangensfunktion: $f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} $sowie ...
  19. Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Das Bogenmaß und Eigenschaften der trigonomterischen Funktionen
    Quadranten
    Die Quadranten des EinheitskreisesDas Koordinatensystem unterteilt den Einheitskreis in vier Quadranten:Quadrant I: $\; 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$Quadrant II: $\; \frac {\pi}{2} < \alpha < \pi$Quadrant III: $\; \pi < \alpha < \frac {3}{2} \pi$Quadrant IV: $\; \frac {3}{2} \pi < \alpha < 2 \, \pi$Quadranten des EinheitskreisesWinkel die im Uhrzeigersinn überstrichen werden, sind negativ, Winkel die gegen den Uhrzeigersinn überstrichen werden positiv. Das Bogenmaß ...
  20. Beziehungen trigonometrischer Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Beziehungen trigonometrischer Funktionen
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    Zwischen den trigonometrischen Funktionen bestehen enge rechnerische Beziehung. Eine Funktion würde schon ausreichen, um jedwedes trigonometrische Problem zu berechnen. Zur Vereinfachung können jedoch mehrere verschiedene Kreisfunktionen verwendet werden. Falls es die Rechnung erfordert, können diese auch in einander überführt werden. Im Folgenden stellen wir dir die wichtigsten Beziehungen kurz vor.KomplementbeziehungenWir können mit den Komplementbeziehungen in einem ...
  21. Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen
    Es existieren noch weitere Rechenregeln für den Umgang mit trigonometrischen Funktionen. Folgende sind besonders wichtig:Additionstheoreme für Sinus und Kosinus, bspw. $\, sin(x + y)$Regeln für Summen und Differenzen von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin(x) + cos(y)$Regeln für Produkte und Quotienten von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin(x) \cdot cos(y)$Regeln für Potenzen von trigonometrischen Funktionen, bspw. $\, sin^2(x)$Im Folgenden stellen wir nur ...
  22. Additionstheoreme trigonometrischer Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen > Additionstheoreme trigonometrischer Funktionen
    Additionstheoreme$sin(x \pm y) = sin x \, cos y \pm cos x \, sin y $$cos(x \pm y) = cos x \, cos y \mp sin x \, sin y $$tan(x \pm y) = \frac{tan x \, \pm \, tan y}{1 \, \mp \, tan x \, tan y} = \frac{sin(x \, \pm \, y)}{cos(x \, \pm \, y)}$$cot(x \pm y) = \frac{cot x \, cot y \, \mp \, 1}{cot x \, \pm \, cot y} = \frac{cos(x \, \pm \, y)}{sin(x \, \pm \, y)}$
  23. Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Trigonometrische Funktionen > Rechenoperationen trigonometrischer Funktionen > Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen
    Aus den im vorherigen Abschnitt aufgeführten Additionstheoremen lassen sich Funktionen ableiten, die es ermöglichen die Summe bzw. Differenzen aus zwei trigonometrischen Funktionen als Produkt darzustellen:$\ sin \alpha \pm sin \beta = 2 \, sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} cos\frac{ \alpha \mp \beta}{2}$ $\ cos \alpha + cos \beta = 2 \, cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$\ cos \alpha - cos \beta = -2 \, sin \frac{\alpha + \beta}{2} sin\frac{\alpha - \beta}{2}$$\ ...
  24. Hyperbelfunktionen
    Elementare Funktionen > Nichtrationale Funktionen > Hyperbelfunktionen
    Hyperbelfunktionen beziehen sich im Gegensatz zu trigonometrischen Funktionen, die am Einheitskreis mit der Formel $\ x^2 + y^2 = 1 $ definiert sind, auf analoge Strecken an der gleichseitigen Hyperbel mit der Formel $\ x^2 - y^2 = 1$. Es existieren sechs HyperbelfunktionenSinus Hyperbolicus ( abgekürzt sinh),Kosinus Hyperbolicus (cosh),Tangens Hyperbolicus (tanh),Kotangens Hyperbolicus (coth),Sekans Hyperbolicus (sech),und Kosekans Hyperbolicus (csch).Die ersten drei Funktionen, also Sinus ...
Analysis und Lineare Algebra
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  • 214 Übungsaufgaben
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