Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen

Analysis und Lineare Algebra

Das Kapitel Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen in unserem Online-Kurs Analysis und Lineare Algebra besteht aus folgenden Inhalten:

1. Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen

   

   Zu Beginn erläutern wir die unterschiedlichen Ausprägungen von Mengen und Zahlen. Im Anschluss werden wir detailliert auf deren Verwendung in diversen mathematischen Rechenbereichen eingehen und dies an Beispielen und Übungsaufgaben vertiefen.Die Themen dieses Kurses gliedern sich wie folgt:Grundlagenkomplexe Zahlenelementare FunktionenVektorrechnungDifferentialrechnungIntegralrechnungFolgen und Reihenlineare Algebra

2. Kurseinführung

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Kurseinführung

   

   Herzlich Willkommen in deinem Kurs Höhere Mathematik 1 zu den Themen Analysis und Lineare Algebra. Wir freuen uns, dass du dich dazu entschlossen hast, dich mithilfe dieses Kurses in die sehr interessante, jedoch nicht ganz einfache Thematik der Mengenlehre, Vektorrechnung, komplexen Zahlen, Integral- und Differentialrechnung sowie der linearen Algebra einzuarbeiten. Zu Beginn des Kurses werden wir dich mit den Grundlagen vertraut machen. Anschließend werden wir Schritt-für-Schritt ...

3. Einführung in die Mengenlehre

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Einführung in die Mengenlehre

   

   Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.So beschrieb im Jahre 1895 der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) die primäre Eigenschaft einer Menge. Kugeln lassen sich nach Kriterien in Mengen unterteilen Als Menge wird eine Ansammlung von Elementen bezeichnet. Mengen werden in der Regel mit Großbuchstaben mit einem zusätzlichen Strich dargestellt (z. B. $\mathbb{A}, \mathbb{B}, ...

4. Teilmengen

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Teilmengen

   

   Obermenge/TeilmengeTeilmengen beschreiben den Zusammenhang zwischen mindestens zwei Mengen. Ist jedes Element der Menge $A$ auch ein Element der Menge $B$, so ist die Menge $A$ eine Teilmenge von $B$:$A \subseteq B \; \; \; $           $A$ ist Teilmenge von $B$Gegeben sei die Menge $A = \{0,1,2,3,4,5,6 \}$ sowie die Mengen $B = \{0,1,2,3,4,5,6 \}$ und $C = \{0,1,6,7 \}$.Die Menge $B$ ist Teilmenge von Menge $A$, also $B ...

5. Vereinigung von Mengen

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Vereinigung von Mengen

   

   Fasst man die Mengen $A$ und $B$ zusammen, so erhält man eine neue Gesamtmenge $M$. In unserem Beispiel werden dadurch $A$ und $B$ zu Teilmengen der Gesamtmenge $M$. Dies nennt man auch die Vereinigung von $A$ und $B$. Es ist hierbei auch zulässig, dass $A$ Elemente beinhaltet, die ebenfalls in $B$ vorhanden sind.$A \cup B := \{x \in M | x \in A \; \text{oder} \; x \in B \}$$A \cup B := \{x \in M | x \in A \; \vee \; x \in B \}$Die mathematischen Zeichen := und =: werden verwendet, ...

6. Durchschnitt von Mengen

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Durchschnitt von Mengen

   

   Die Durchschnittsmenge (kurz Durchschnitt) ermittelt sich durch die gemeinsamen Elemente von mindestens zwei Mengen und wird mit dem Symbol $\cap$ bezeichnet. Der Durchschnitt der Mengen $A$ und $B$ wird folgendermaßen zusammengefasst: $A \cap B := \{x \in M | x \in A \; \text{und} \; x \in B \}$$A \cap B := \{x \in M | x \in A \; \wedge \; x \in B \}$Das Zeichen $\cap$ bedeutet einfach: Die Zusammenfassung aller Elemente, die in $A$ und in $B$ enthalten sind.Durchschnitt ...

7. Differenz von Mengen

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Differenz von Mengen

   

   Die Differenzmenge $A \backslash B$ umfasst alle Elemente der Menge $A$, welche nicht auch in der Menge $B$ enthalten sind. Im Gegensatz dazu, umfasst die Differenzmenge $B \backslash A$ alle Elemente der Menge $B$, welche nicht auch in der Menge $A$ enthalten sind.$A \backslash B : = \{ x \in M | x  \in  A \; \text{und} \; x \notin B \}$$A \backslash B : = \{ x \in M | x \in A \; \wedge \; x \notin B \}$bzw.$B \backslash A : = \{ x \in M | x \in B \; \text{und} \; x ...

8. Komplementärmengen

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Komplementärmengen

   

   Die Komplementärmenge ist eine Sonderform der Differenz und wird dann verwendet, wenn bei einer Mengendefinition eine Grundmenge $\Omega$ angegeben wird.Die Komplementärmenge $\overline{A}$ umfasst alle Elemente aus einer gegebenen Grundmenge $\Omega$, die nicht zur Menge $A$ gehören.$\overline{A} := \{ x \in M | x  \in  \Omega \; \text{und} \;  x \notin A \}$$\overline{A} := \{ x \in M | x \in \Omega \; \wedge \; x \notin A \}$ KomplementärmengeIn ...

9. Produktmengen

   Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Produktmengen

   

   Die Produktmenge (in der Mathematik auch kartesisches Produkt genannt) zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller geordneter Paare, die aus den Elementen $x \in A$ und $y \in B$ gebildet werden können. Alle Funktionen und Abbildungen sind als Teilmengen kartesischer Produkte aufzufassen.Schreibweise: $A \times B = \{(x,y)|x \in A \; \text{und} \; y \in B \}$Hierbei stellt $n_1$ die Anzahl der Elemente von $A$ und $n_2$ die Anzahl der Elemente von $B$ dar. Die Produktmenge beinhaltet ...

10. Übungsbeispiele zur Mengenlehre

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Mengenoperationen > Übungsbeispiele zur Mengenlehre

    

    In diesem Abschnitt werden einige Übungsbeispiele zur Mengenlehre aufgeführt.1. Beispiel zur MengenlehreGegeben seien die Grundmenge $\omega = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}$ sowie die Mengen $A = \{0,1,2 \}$ und $B = \{1,2,3 \}$.Führe bitte die folgenden Mengenoperationen durch:$A \cup B$ (Vereinigung)$A \cap B$ (Durchschnitt)$A \backslash B$ und $B \backslash A$ (Differenz)$\overline{B}$Wir bilden zunächst die Vereinigung. Hierbei gilt: Alle Elemente, die entweder in $A$ ...

11. Kommutativgesetz

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Rechenregel für Mengen > Kommutativgesetz

    

    In der Mengenlehre sind die Vereinigung und der Durchschnitt kommutative Operationen. Für die Mengen $A$ und $B$ gilt somit$A \cup B = B \cup A$                  Vereinigung               $A \cap B = B \cap A$                  Durchschnitt           Das bedeutet verbal ausgedrückt, dass die ...

12. Assoziativgesetz

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Rechenregel für Mengen > Assoziativgesetz

    

    Das Assoziativgesetz besagt, dass bei der Verkettung von mathematischen Operationen, diese in jeder beliebigen Reihenfolge durchgeführt werden können und das Ergebnis immer gleich ist. Im Folgenden wird dies anhand des Durchschnitts und der Vereinigung von drei Mengen veranschaulichtDurchschnitt von drei MengenGegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$, $B = \{3, 4, 5, 6 \}$ und $C = \{4, 5, 6, 7, 8 \}$. Wie kann die Schnittmenge $A \cap B \cap C$ gebildet werden?1. Möglichkeit: ...

13. Distributivgesetz

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Rechenregel für Mengen > Distributivgesetz

    

    Das Distributivgesetz zeigt die Möglichkeiten auf, die Verkettung von Operationen anders oder vereinfacht darzustellen, um zum gleichen Ergebnis zu gelangen. Im Weiteren erläutern wir dir das Distributivgesetzt anhand von Durchschnitt (Schnittmenge), Vereinigung und Differenz von Mengen.Schnittmenge und Vereinigung$A \cap (B \cup C) \longleftrightarrow (A \cap B) \cup (A \cap C)$Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$, $B = \{3, 4, 5, 6 \}$ und $C = \{4, 5, 6, 7, 8 \}$.1. Möglichkeit: ...

14. Regel von de Morgan

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Mengenlehre > Rechenregel für Mengen > Regel von de Morgan

    

    Im Folgenden stellen wir dir die zwei de Morganschen Regeln vor und verdeutlichen diese anhand von Beispielen. Die Regeln sind nach dem Mathematiker Augustus De Morgan benannt.De Morgansche Regel: Vereinigung und Durchschnitt$\overline{(A \cup B)} \longleftrightarrow \overline{A} \cap \overline{B}$Der Strich über der Menge bedeutet, dass diejenigen Elemente betrachtet werden, die NICHT enthalten sind. Dies entspricht der Komplementärmenge, welche wir bereits im Abschnitt Komplementärmenge ...

15. Reelle Zahlen

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen

    

    Reelle Zahlen umfassen sowohl die rationalen Zahlen (als Bruch darstellbar; endlich oder periodisch) sowie die irrationalen Zahlen (nicht als Bruch darstellbar; unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen). Also $\mathbb{R}$ = $\mathbb{Q}$ + $\mathbb{I}$Die irrationalen Zahlen werden häufig geschrieben zu:$\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ (reelle Zahlen ohne rationale Zahlen).Bekannte Beispiele für irrationale Zahlen sind $\sqrt{2} = 1,4142...$ und die ...

16. Bezeichnung reeller Zahlen

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Bezeichnung reeller Zahlen

    

    Reelle Zahlen können bestimmten Beschränkungen (Restriktionen) unterliegen. Sie haben deshalb zusätzliche Bezeichnungen. In der folgenden Tabelle kannst du diese sehen:Reelle Zahlen$\mathbb{R}= \{ x | x \; \text{ist eine rationale oder irrationale Zahl} \}$             reelle Zahlen ohne Null$\mathbb{R}^*= \{ x | x \neq 0 \; \text{und} \; x \in \mathbb{R} \}$   positivereelle Zahlen (inkl. Null)$\mathbb{R}_+ = \{ x | x  \ge 0 \; \text{und} ...

17. Ungleichungen

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen

    

    Eine Ungleichung stellt in der Mathematik einen Größenvergleich zwischen zwei oder mehreren Werten dar. Eine Ungleichung besagt nicht, dass zwei Werte gleich sind, sondern dass ein Wert größer oder kleiner (bzw. größer-gleich oder kleiner-gleich) als ein anderer Wert ist.Hierbei unterscheidet man im Weiteren die strikte Ungleichung von der nicht-strikten Ungleichung. Strikte Ungleichung$x < y  \rightarrow$ ...

18. Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen > Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen

    

    In diesem Abschnitt zeigen wir dir Beispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Betragsungleichungen und Bruchungleichungen auf.WICHTIG: Bei der Multiplikation/Division einer Ungleichung mit einer negativen Größe, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.Anwendungsbeispiele: Einfache UngleichungenGegeben sei die folgende Ungleichung:$- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$Bestimme bitte alle reellen Lösungen dieser Ungleichung!Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung ...

19. Intervalle

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Intervalle

    

    Intervalle geben immer einen Bereich auf dem Zahlenstrahl an. Man unterscheidet folgende Intervalle:abgeschlossenes Intervalloffenes Intervall halboffenes Intervallunendliches IntervallAbgeschlossenes IntervallDas abgeschlossene Intervall $[a, b] := \{ x \in \mathbb{R} | a \le x \le b \}$ beinhaltet $a$ und $b$ als Randpunkte. Das bedeutet, dass sowohl $a$ als auch $b$ zu dem Intervall gehören.Zu dem Intervall $[4, 5]$ gehören die Werte $4$ und $5$ sowie alle Werte die zwischen $4$ ...

20. Schranken (Supremum, Infimum)

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Schranken (Supremum, Infimum)

    

    Ist eine Menge nach oben oder nach unten beschränkt, so existiert eine obere oder eine untere Schranke.Obere und untere SchrankeEine Menge $M$ reeller Zahlen ist nach oben beschränkt, wenn $M \subseteq (-\infty, b]$ mit $b \in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist $b$ eine obere Schranke von $M$. Eine Menge $M$ reeller Zahlen ist nach unten beschränkt, wenn $M \subseteq [a, \infty)$ mit $a \in \mathbb{R}$. In diesem Fall ist $a$ eine untere Schranke von $M$. Eine Menge ...

21. Beträge

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Beträge

    

    DefinitionDer Betrag $|x|$ einer reellen Zahl $x \in \mathbb{R}$  ist definiert durch:$\begin{equation} |x| = \begin{cases} x & \text{falls  } \; x \ge 0 \\ -x & \text{falls  } \; x < 0 \end{cases} \end{equation}$Die Werte zwischen den Betragsstrichen können sowohl positiv als auch negativ sein. Die Betragsstriche bedeuten mathematisch nichts anderes als die Aufforderung, bei der Zahl oder dem Term schlicht die Vorzeichen nicht zu berücksichtigen.Der ...

22. Vollständige Induktion

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Vollständige Induktion

    

    Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode aus der Mathematik. Diese Beweismethode besagt, dass eine Aussage $A(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n \in \mathbb{N}$ zutrifft. Bei der Anwendung dieser Methode steht am Anfang stets eine Behauptung, anschließend folgt der Beweis.$A(n)$ bedeutet, dass Aussage $A$ von einer natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$ abhängt. Die Induktion wird in zwei Schritten durchgeführt:1. Induktionsschritt: $A(1)$, d. h. die ...

23. Beispiele: Vollständige Induktion

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Vollständige Induktion > Beispiele: Vollständige Induktion

    

    In diesem Beispiel zeigen wir einige Beispiele für die Anwendung der vollständigen Induktion.Beispiel 1 zur vollständigen InduktionDie Gaußsche Summenformel stellt einen einfachen Fall von vollständiger Induktion dar:Aussage: $1 + 2 + 3.... + n = \frac{n(n+1)}{2}$   (Die Herleitung dieser Formel ist hierbei irrelevant).Prüfe diese Aussage mittels vollständiger Induktion!Die linke Seite der obigen Aussage ist nichts anderes alls die Summe der natürlichen ...

24. Fakultät und Binomialkoeffizienten

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Fakultät und Binomialkoeffizienten

    

    FakultätDie Fakultät n! ist ein wichtiges Produkt in der Mathematik und wird sehr häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet. DefinitionFür alle natürlichen Zahlen gilt:$0! = 1$$\begin{equation} n! := n(n-1)! = n(n-1) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1 = \prod\limits_{k = 1}^n k = \begin{cases} 1 & \text{für } n < 2 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n & \text{für } n \ge 2 \end{cases} \end{equation}$Zahlenbeispiele Fakultät$0! ...

25. Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen

    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen

    

    In diesem Abschnitt folgen einige Anwendungsbeispiele zu den vorherigen Abschnitten.IntervalleGegeben seien die folgenden Intervalle der reellen Zahlen:a) offenes Intervall von $3$ bis $\frac{14}{3}$b) rechts halboffenes Intervall von $x_1$ bis $x_2$c) links halboffenes Intervall von $\frac{5}{8}$ bis $z$d) geschlossenes Intervall von $-15$ bis $0$e) das Intervall aller Zahlen größer oder gleich $3$f) das Intervall aller Zahlen kleiner als $2$Gib bitte diese als Klammerausdruck und in ...