Integralrechnung

Analysis und Lineare Algebra

Das Kapitel Integralrechnung in unserem Online-Kurs Analysis und Lineare Algebra besteht aus folgenden Inhalten:

1. Unbestimmte Integrale

   Integralrechnung > Unbestimmte Integrale

   

   Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der Differentialrechnung, so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist.Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das Integralzeichen $\int $.Hierbei sucht man zu einer gegebenen Ableitungsfunktion $ y' = f(x)$ deren Stammfunktion $ y = F(x)$, so dass $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$Das $dx$ steht für ...

2. Rechenregeln für unbestimmte Integrale

   Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Rechenregeln für unbestimmte Integrale

   

   Zur Lösung eines unbestimmten Integrals kann man sich bei der Umformung an den folgenden Regeln orientieren:Vorziehen eines konstanten FaktorsBeim Vorziehen eines konstanten Faktors geht man so vor, dass der Faktor, welcher eine Konstante darstellt vor das Integral gezogen werden kann. Faktoren zeichnen sich durch ein Multiplikations- bzw. Divisionzeichen aus. Konstant bedeutet, dass dieser Faktor nicht von $x$ abhängig ist.$\int a \cdot f(x) \ dx = a \cdot \int f(x) \ dx $ Integriere ...

3. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen

   Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen

   

   Kann eine Funktion nicht direkt integriert werden, so ist es oft möglich diese durch Substitution dennoch zu Lösen. Unter Substitution ist das Ersetzen eines Terms durch einen anderen Term als sog. Stellvertreter zu verstehen. Meist wird der Vereinfachung halber, nur ein neues Symbol für einen ganzen Term eingesetzt. Man gewinnt mehr Übersicht und die Eigenschaften von Integralen oder Funktionen werden erkennbarer. Hierzu wird z.B. eine Wurzel, eine Funktion in einer Klammer ...

4. Partielle Integration bei unbestimmten Integralen

   Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partielle Integration bei unbestimmten Integralen

   

   Eine andere Möglichkeit zur Lösung eines unbestimmten Integrals ist die Durchführung einer partiellen Integration. Diese verwendet man vorzugsweise bei Integralen die ein Produkt beinhalten. Die Partielle Integration ist analog zur Produktregel des Differenzierens.Partielle Integration:$\int u'(x) v(x) \; dx = u(x) \cdot v(x) -\int u(x) \cdot v'(x) \; dx$.Wie bereits an der Formel ersichtlich, wird ein Faktor integriert und der andere differenziert. Daher sollte man sich vorher ...

5. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen

   Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen

   

   Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es  der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.Auch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:I. DurchdividierenII. Nullstellen des Nenners bestimmenIII. Ansatz der PartialbrücheIV. Bestimmung der KoeffizientenV. IntegrationIntegriere $\int \frac{x^3-2x^2+x+5}{x^2-1} ...

6. Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen

   Integralrechnung > Unbestimmte Integrale > Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen

   

   Im Gegensatz zu den bisherigen rationalen Funktionen, existiert für nicht-rationale Funktionen kein allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück. Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren. Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch ...

7. Bestimmte Integrale

   Integralrechnung > Bestimmte Integrale

   

   Die geometrische Interpretation eines bestimmten Integrals ist die Fläche unter einem Funktionsgraphen $f(x)$. Das Intervall $[a, b]$  wird dafür in mehrere Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$  zerlegt, um den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen im Intervall  $[a, b]$  zu ermitteln.Bestimmtes IntegralSei $f(x)$ eine auf dem Intervall $[a, b]$ stetige Funktion. Wird das Intervall $[a, b]$ in $n$ gleiche Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$ der Länge $\frac{b ...

8. Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung

   Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung

   

   ... ist:Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungIst $F(x)$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $f(x)$, also $F'(x) = f(x)$ so gilt:$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a)$FlächenberechnungGegeben sei die Funktion  $f(x) = 3x^2$.  Bestimme das bestimmte Integral im Intervall $[1, 3]$.$\int\limits_{1}^{3} 3x^2 dx = [x^3]_1^3 =   3^3 - 1^3 ...

9. Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen

   Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen

   

   Bei bestimmten Integralen ist eine Auflösung durch Substitution auf zwei Arten möglich. Das folgende Beispiel soll dies näher verdeutlichen.Gegeben sei ein bestimmtes Integral $\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $, welches integriert werden soll. 1. Mitsubstituieren der Grenzen des bestimmten Integrals$\int\limits_0^2 2x \ e^{x^2} \ dx $ Zuerst substituiert man $g^{-1} (x) = x² = t $  mit  $g^{-1}´(x) = dt = 2x dx$$ \rightarrow \ dx = \frac{dt}{2x}$.Man ...

10. Partielle Integration bei bestimmten Integralen

    Integralrechnung > Bestimmte Integrale > Partielle Integration bei bestimmten Integralen

    

    Die partielle Integration bietet sich an, wenn die Stammfunktion zu $u'$  bekannt oder leicht zu berechnen ist und der Integralausdruck auf der rechten Seite einfacher zu berechnen ist.Sei $[a. b]$  ein Intervall und $u, v: [a, b] \to \mathbb{R}$  zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt:$\int\limits_a^b u´ \cdot v \ dx = [u \cdot v]_a^b - \int\limits_a^b u \cdot v´ \ dx$Gegeben sei das bestimmte Integral:  $\int\limits_0^1 e^x \ x \ dx$.Es ...

11. Uneigentliche Integrale

    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale

    

    Uneigentliche Integrale unterscheiden sich von anderen Integralen dadurch, dass der Integrand $\ f(x)$ nur teilweise stetig und folglich beschränkt ist. Sie werden als Grenzwerte von bestimmten Integralen definiert und auf gleiche Weise zur Flächenberechnung benutzt. Jedoch erstrecken sich diese Flächen ins Unendliche und besitzen demnach auch keinen endlichen Flächeninhalt. Uneigentliche IntegraleWie man in der obigen Grafik erkennt, nähert ...

12. Uneigentliche Integrale Typ 1

    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 1

    

    Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen$\ [a, \infty)$ z.B. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx $Wie in der obigen Funktion besitzt das Integral vom Typ I immer mindestens eine Integrationsgrenze, die den Wert unendlich hat.Da das uneigentliche Integral als Grenzwert von bestimmten Integralen definiert ist, besitzt es folgenden Ausdruck:$\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{r \to \infty} \int_a^r f(x)dx$. VorgehensweiseZuerst ist  das Integral  $ \int_a^r f(x) dx$  in ...

13. Uneigentliche Integrale Typ 2

    Integralrechnung > Uneigentliche Integrale > Uneigentliche Integrale Typ 2

    

    Typ II Integrale mit unbeschränkten IntegrandenHierbei handelt es sich um Integrale, deren Integrand $f(x)$ am Rand oder im Innern des Integrationsintervalls $[a, b]$ an mindestens einer Stelle unbeschränkt ist [eine Polstelle besitzt]. Befindet sich die Polstelle $p$ am Rand $b$, so ist die Funktion wie folgt :$\int\limits_a^p f(x) dx$, $p$ ist hier die Polstelle der Funktion $f(x)$. Als einseitiger Grenzwert von bestimmten Integralen ist das uneigentliche Integral wie folgt ...