Komplexe Zahlen

Analysis und Lineare Algebra

Das Kapitel Komplexe Zahlen in unserem Online-Kurs Analysis und Lineare Algebra besteht aus folgenden Inhalten:

1. Definition von komplexen Zahlen

   Komplexe Zahlen > Definition von komplexen Zahlen

   

   ... ein positives Ergebnis zur Folge hat. Komplexe ZahlenKomplexe Zahlen hingegen erfassen die Wurzel aus negativen Zahlen. Dies ist nur durch Einführung einer widerspruchsfreien Definition möglich, damit die bisher gültigen Rechenregeln nicht verletzt werden. Wir definieren hierfür:komplexe Zahl: $z = x + i \cdot y$Menge der komplexen Zahlen: $ \mathbb{C} := \{x + iy \; \; |x,y \in \mathbb{R}\}$Die komplexen Zahlen bestehen aus dem Realteil $x$ und dem Imaginärteil ...

2. Grundrechenarten der komplexen Zahlen

   Komplexe Zahlen > Grundrechenarten der komplexen Zahlen

   

   Addition bzw. Subtraktion komplexer ZahlenZur Ermittlung der Summe bzw. Differenz zweier komplexer Zahlen $z = x + i \cdot y$ und $w = c + i \cdot v$ addiert bzw. subtrahiert man jeweils den Realteil und den Imaginärteil getrennt (wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren):Addition:  $z + w := (x + c) + i (y + v)$ Subtraktion:  $z - w := (x - c) + i (y - v)$Multiplikation komplexer ZahlenDie Multiplikation komplexer Zahlen mit einer reellen Zahlen (hier: $\lambda$) entspricht ...

3. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten

   Komplexe Zahlen > Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten

   

   Durch den Abstand $r$ (Radius) vom Koordinatenursprung lässt sich die Lage eines Punktes ermitteln. Dabei ist $\vec{r}$ der Vektor, der auf den Punkt zeigt und $r = |\vec{r}|$ ist die Länge des Vektors. Dieser Zusammhang wurde bereits im Kapitel Vektorrechnung behandelt. Ist der Vektor $\vec{r} \neq (0,0)$ (also vom Nullvektor verschieden), dann ist die Länge des Vektor größer null: $r > 0$. Wie du in der folgenden Grafik siehst, existiert dann ein Winkel $\varphi$, welcher ...

4. Nullstellen von Polynomen

   Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen

   

   ... zweigliedrige Summen oder Differenzen verwendet.Komplexe Zahlen spielen in der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen eine wichtige Rolle, also die Werte von $x$, für die das Polynom verschwindet. Der Ausdruck algebraische Summe ist dem Polynom gleichbedeutend.Ein Beispiel für ein fünfgliedriges Polynom ist der Term $\, x^2 + x - 1 + c - \frac {1}{x}$. In den folgenden Kurstexten gehen wir auf den Fundamentalsatz der Algebra und die pq-Formel näher ...

5. Fundamentalsatz der Algebra

   Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > Fundamentalsatz der Algebra

   

   Für jedes Polynom $f(x)$ mit komplexen Koeffizienten ist eine Darstellung als Produkt von $n$ Linearfaktoren möglich.$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \, ... \, + a_1 x + a_0$$\leftrightarrow \, f(x) = a_n( x - b_1) \, ... \, (x - b_n)$Die komplexen Zahlen $b_1, \, ... \, , b_n$ sind die Nullstellen von $ f(x)$.Zerlege das Polynom $x^4 - 1$ in Linearfaktoren!$x^4 - 1= (x-1)(x-i)(x+1)(x+i) \;\;$ (Beachte, dass $i^2 = -1$!)Probe: $(x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$$= (x^2 -1^2) (x^2 - i^2)$$= (x^2 ...

6. abc- Formel (Mitternachtsformel) und pq-Formel

   Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > abc- Formel (Mitternachtsformel) und pq-Formel

   

   ... quadratischen Funktion Diskriminante und komplexe ZahlenDer Term unter der Wurzel in der abc- oder pq-Formel hat im Bereich der komplexen Zahlen stets eine Lösung. Das heißt, wenn wir komplexe Zahlen als Lösungen zulassen, hat jede quadratische Gleichung genau zwei Lösungen, auch wenn sie in bestimmten Fällen den gleichen Wert haben. Diese Lösungen werden Wurzeln der Gleichung genannt.Im Bereich der reellen Zahlen hat eine quadratische Gleichung null bis zwei ...