Vektorrechnung

Analysis und Lineare Algebra

Das Kapitel Vektorrechnung in unserem Online-Kurs Analysis und Lineare Algebra besteht aus folgenden Inhalten:

1. Einführung in die Vektorrechnung

   Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung

   

   Unter Vektoren versteht man Objekte mit einer vorgegebenen Länge und Richtung. Mit Hilfe von Vektoren kann man z. B. die Geschwindigkeit von Objekten oder die Strömungsrichtungen in einem Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. Vektor ...

2. Addition von Vektoren

   Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Addition von Vektoren

   

   Die Addition von zwei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$ ist definiert durch:$\vec{a} + \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{array} \right)$Die grafische Addition von Vektoren erfolgt, indem der Anfangspunkt des Vektors $\vec{b}$ an den Endpunkt des Vektors $\vec{a}$ angreiht wird. Dabei darf die Richtung der Vektoren nicht verändert werden. Der resultierende ...

3. Subtraktion von Vektoren

   Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Subtraktion von Vektoren

   

   Die Subtraktion von zwei Vektoren $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right)$ und $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right)$ ist definiert durch:$\vec{a} - \vec{b} := \left( \begin{array}{c} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{array} \right)$Die grafische Subtraktion des Vektors  $\vec{b}$  vom Vektor  $\vec{a}$  erfolgt, indem man den entgegengesetzten Vektor  $- \vec{b}$ zum Vektor $\vec{a}$ hinzuaddiert. Man tauscht also ...

4. Skalieren von Vektoren

   Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Skalieren von Vektoren

   

   Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl nennt man Skalierung eines Vektors. Das Produkt ist wiederum ein Vektor, der entsprechend des mit ihm multiplizierten Werteslänger $\longrightarrow (2 \cdot \vec{a})$,kürzer $\longrightarrow (0,5 \cdot \vec{a})$ oder sogarin entgegengesetzter Richtung $\longrightarrow (-0,5 \cdot \vec{a})$neu abgebildet wird.Skalieren von Vektoren In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass ein Vektor $\vec{a}$ multipliziert ...

5. Einheitsvektor, Länge von Vektoren

   Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren

   

   ... Video wird geladen...(13-hoehere-mathematik-1-vektorrechnung-abstand-zweier-punkte) Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / EinheitsvektorBitte berechnen die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(6,3)$ und $B(1,5)$!Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden. Diese zeigen ...

6. Dreiecksungleichung

   Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Dreiecksungleichung

   

   Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe zweier Seiten eines Dreiecks mindestens so groß ist wie die andere Dreiecksseite.Dreieck Analog dazu: Eine Dreiecksseite ist höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Es muss hier der Betrag der Längen betrachtet werden:Dreiecksungleichung: $|a| + |b| \ge |a + b|$mit$a$ = Länge der Seite a$b$ = Länge der Seite b$|a + b|$ = Länge der Seite a+bFür Vektoren gilt analog: Dreiecksungleichung ...

7. Skalarprodukt und Winkel

   Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel

   

   Sind zwei Vektoren $\vec{a} \neq 0$ und $\vec{b} \neq 0$ (also vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.eingeschlossener WinkelSkalarproduktDas Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar).Für die Berechnung des Skalarprodukts im kartesischen Koordinatensystem verwendet man folgende Formel, bei der der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht ...

8. Zerlegung von Vektoren

   Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren

   

   ... Video wird geladen...(14-hoehere-mathematik-1-vektorrechnung-orthogonale-zerlegung-von-vektoren-1-2)Das Video wird geladen...(15-hoehere-mathematik-1-vektorrechnung-orthogonale-zerlegung-von-vektoren-2-2)

9. Rechengesetze für das Skalarprodukt

   Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Rechengesetze für das Skalarprodukt

   

   Rechengesetze für das Skalarprodukt:1. Kommutativgesetz: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$2. $(\alpha \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\alpha \vec{b}) = \alpha(\vec{a} \cdot \vec{b}) \;\;\;\;\;$ (für $\alpha \in \mathbb{R}$)3. Orthogonalitätstest: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \longleftrightarrow \vec{a}$ orthogonal zu $\vec{b}$4. Distributivgesetz: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$5. Betrag eines Vektors: $|\vec{a}| ...

10. Das Vektorprodukt

    Vektorrechnung > Das Vektorprodukt

    

    Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$ (siehe Skalarprodukt). Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wohingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.Eigenschaften des VektorproduktsDas Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ aus den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ...

11. Das Spatprodukt

    Vektorrechnung > Das Spatprodukt

    

    Das Spatprodukt stellt eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt dar. Es wird aus je drei Vektoren gebildet. Schreibweise: [$\vec{a},\vec{b},\vec{c}] :=\vec{a} \cdot (\vec{b}$ x $\vec{c}):=\vec{b} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{c}):=\vec{c} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{b})$.Der von den Vektoren aufgespannte Spat hat das Volumen $V = |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.Im Umkehrschluss bedeutet dies:1. Liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene, so ergibt ihr Spatprodukt null:$\;\;\;[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] ...

12. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung

    Vektorrechnung > Übungsaufgaben zur Vektorrechnung

    

    ... stellen wir einige Beispielaufgaben zur Vektorrechnung vor.Aufgabe 1: Addition und Subtraktion sowie Multiplikation mit einem SkalarGegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,-4,1)$ und $\vec{b} = (1,1,-2)$.Bitte berechne:a) $\, \vec{a} + \vec{b}$b) $\, -2\vec{a}$c) $\, 3\vec{a} - 2\vec{b}$a) $\, \vec{a} + \vec{b} = (2+1, -4+1, 1-2) = (3, -3, -1) $b) $\, -2\vec{a} = -2((2,-4,1) = (-4,8,-2)$c) $\, 3\vec{a} - 2\vec{b} = 3(2,-4,1) -  2(1,1,-2) = (4,-14,7)$Aufgabe ...

13. Geraden im Raum

    Vektorrechnung > Geraden im Raum

    

    Geraden können mittels Parameterdarstellung durch Vektoren abgebildet werden. Gerade durch den UrsprungEine Gerade durch den Koordinatenursprung wird allgemein definiert als:$G: \vec{x} = t \cdot \vec{v}$ mit$t \in \mathbb{R}$ = Parameter$\vec{v}$ = RichtungsvektorDie Gerade mit obiger Gleichung verläuft dabei durch den Nullpunkt. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ zeigt dabei die Richtung der Geraden an, der Parameter $t$ die Länge der Geraden. In der folgenden Grafik ist der ...

14. Identische Geraden

    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Identische Geraden

    

    Zwei Geraden $g$ und $h$ sind identisch, wenn beide auf derselben Wirkungslinie liegen, also $h = g$ gilt:$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$$h: \vec{x} = \vec{b} + s \cdot \vec{u}$Bedingungen für identische Geraden:1. Die Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{u}$ sind Vielfache voneinander (kollinear).2. Der Stützvektor der einen Geraden befindet sich auf der anderen Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.Sind beide Bedingungen erfüllt, ...

15. Parallele Geraden

    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Parallele Geraden

    

    Wir haben bereits identische Geraden kennengelernt. Parallele Geraden liegen - wie der Name bereits vermuten lässt - parallel zueinander. Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie in jedem Punkt denselben Abstand haben.Für die Überprüfung muss die erste Bedingung der identischen Geraden erfüllt sein, deren zweite Bedingung darf jedoch nicht erfüllt sein.Bedingungen für parallele Geraden:1. Die Richtungsvektoren der Geraden sind Vielfache voneinander.2. Der ...

16. Schnittpunkt zweier Geraden

    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Schnittpunkt zweier Geraden

    

    In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, wie man den Schnittpunkt zweier Geraden berechnet. Die allgemeine Vorgehensweise ist wie folgt:Gleichsetzen der GeradengleichungenAufstellung und Lösung des linearen GleichungssystemsBestimmung des SchnittpunktesZum besseren Verständnis folgt ein Beispiel zur Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden.Beispiel: Schnittpunkt zweier GeradenGegeben seien die beiden Geraden:$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} ...

17. Windschiefe Geraden

    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Windschiefe Geraden

    

    Geraden werden als windschief bezeichnet, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Im zweidimensionalen Raum sind zwei Geraden entweder parallel zueinander (bzw. identisch) oder schneiden sich. Windschiefe Geraden können also nur in mindestens dreidimensionalen Räumen auftreten.Die Voraussetzungen für windschiefe Geraden sind:Die Richtungsvektoren der Geraden sind nicht Vielfache voneinander.Die Geraden schneiden sich nicht.Zum besseren Verständnis folgt ein ...

18. Abstände von Geraden/Punkten

    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Abstände von Geraden/Punkten

    

    Wie wir in den vorherigen Abschnitten gesehen haben, können zwei Geraden entwederidentisch seinecht parallel sein oderwindschief sein.Identische Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte und weisen keinen Abstand zueinander auf. Der Abstand bei identischen Geraden ist also gleich Null.Ein Punkt und eine GeradeGegeben sei ein Punkt $P(x_1, x_2, x_3)$ und eine Gerade $g: \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{v}$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ und dem Richtungsvektor $\vec{v}$. Dann berechnet sich der Abstand ...

19. Übungsaufgaben zu Geraden im Raum

    Vektorrechnung > Geraden im Raum > Übungsaufgaben zu Geraden im Raum

    

    Für die nachfolgenden Aufgaben soll die Lage der Geraden zueinander (parallel, identisch, windschief, sich schneidend) bestimmt und der Abstand zwischen den Geraden berechnet werden (bei parallelen und windschiefen Geraden).Die Geraden werden in der folgenden Parameterdarstellung angegeben:$g: \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{v}$$h: \vec{x} = \vec{b} + t_2 \vec{w}$Aufgabe 1: Lagebeziehung von GeradenGegeben seien die beiden Geraden$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ -7 \end{array}\right) ...