Nichtlineare Optimierung

Operations Research 2

Das Kapitel Nichtlineare Optimierung in unserem Online-Kurs Operations Research 2 besteht aus folgenden Inhalten:

1. Grundlagen der nichtlinearen Optimierung

   Nichtlineare Optimierung > Grundlagen der nichtlinearen Optimierung

   

2. Konkave und konvexe Funktionen

   Nichtlineare Optimierung > Grundlagen der nichtlinearen Optimierung > Konkave und konvexe Funktionen

   

   Eine reellwertige Funktion heißt konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.Eine reellwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ...

3. Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen auf direktem Weg

   Nichtlineare Optimierung > Grundlagen der nichtlinearen Optimierung > Konkave und konvexe Funktionen > Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen auf direktem Weg

   

   Gegeben sei die folgende Funktion:$F(x) = 10x - 4x^2$Handelt es sich hierbei um eine konkave oder konvexe Funktion bzw. liegt keines von beiden vor?Die Funktion wird nun wie folgt aufgestellt:$x = \lambda x + (1 - \lambda) y$Einsetzen für $x$ ergibt dann:$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) = 10 (\lambda x + (1 - \lambda) y) - 4 (\lambda x + (1 - \lambda) y)^2$Es werden nun nach und nach die Klammern auf der rechten Seite aufgelöst und die Variablen zusammengefasst. Die Klammern mit ...

4. Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit

   Nichtlineare Optimierung > Grundlagen der nichtlinearen Optimierung > Konkave und konvexe Funktionen > Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit

   

   Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.Konkave FunktionEine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R} $ gilt: $F''(x) \le 0$.Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner gleich null ...

5. Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen

   Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen

   

   In den folgenden Abschnitten wird die nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen behandelt. Es werden Verfahren aufgezeigt, die solche Optimierungsprobleme lösen können. 

6. Methode der zulässigen Richtung

   Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung

   

   ... Vorgehen zu verstehen. Es muss zu Beginn das nichtlineare Optimierungsproblem in der obigen Form vorliegen. Liegt es nicht in dieser Form vor, so muss es in die Form überführt werden. Dabei kann man sich dem Abschnitt Umformung in die Standardform bedienen. Ist eine Nichtnegativitätsbedingung im Ausgangsproblem gegeben, so wird auch diese in der Form $-x_j \le 0$ geschrieben. Nachdem das nichtlineare Optimierungsproblem in der obigen Form (Maximierungsproblem, $\le$-Nebenbedingungen) ...

7. Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (1. Iteration)

   Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung > Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (1. Iteration)

   

   ... Methode der zulässigen Richtungen für nichtlineare Optimierungsprobleme unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen.Gegeben sei das folgende nichtlineare Minimerungsproblem:$f(x_1, x_2) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 4)^2$    $\rightarrow$   min!u.d.N.$x_1 + x_2 \le 4$$x_1 - x_2 \le 0$$x_1 \le 1$$x_1 \ge 0$Zunächst wird das nichtlineare Minimierungsproblem in die im vorherigen Abschnitt angegebene Form umgeformt. Das bedeutet die Zielfunktion muss maximiert werden ...

8. Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (2. Iteration)

   Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung > Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (2. Iteration)

   

   In diesem Abschitt wird die Methode der zulässigen Richtungen fortgesetzt. Nachdem die neue zulässige Lösung $x = (0,4)$ ermittelt worden ist, wird nun wieder mit Schritt 2: Bestimmung der aktiven Indizes begonnen.2. Bestimmung der aktiven IndizesEs wird nun in die Nebenbedingungen des Ausgangsproblems die neue zulässige Lösung eingesetzt und geprüft, ob beim Einsetzen die Ungleichung zu einer Gleichung führt. Dies ergibt sich für die Nebenbedingungen 1 und ...

9. Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (3. Iteration)

   Nichtlineare Optimierung > Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen > Methode der zulässigen Richtung > Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (3. Iteration)

   

   In diesem Abschitt wird die Methode der zulässigen Richtungen fortgesetzt. Nachdem die neue zulässige Lösung $x = (1,3)$ ermittelt worden ist, wird nun wieder mit Schritt 2: Bestimmung der aktiven Indizes begonnen.2. Bestimmung der aktiven IndizesEs wird nun in die Nebenbedingungen des Ausgangsproblems die neue zulässige Lösung eingesetzt und geprüft, ob beim Einsetzen die Ungleichung zu einer Gleichung führt. Dies ergibt sich für die Nebenbedingungen 1 und ...