Frequenzgang

Regelungstechnik

Das Kapitel Frequenzgang in unserem Online-Kurs Regelungstechnik besteht aus folgenden Inhalten:

1. Frequenzgang

   Frequenzgang

   

   In diesem Kapitel behandeln wir den Frequenzgang von Übertragungselementen. In diesem Zusammenhang behandeln wir zusätzlich die Themen Ortskurven, Bodediagramm und Sprungantwort. Die Unterthemen sind:Dynamisches Verhalten im FrequenzbereichFrequenzgangBerechnung des Frequenzgangs aus der Differenzialgleichung des ÜbertragungselementsFrequenzgang und ÜbertragungsfunktionFrequenzgang und OrtskurveFrequenzgang und Bodediagramm sowieFrequenzgang und Sprungantwort

2. Dynamisches Verhalten im Frequenzbereich

   Frequenzgang > Dynamisches Verhalten im Frequenzbereich

   

   Um das Übertragungsverhalten von Regelkreiselementen zu bestimmen, verwendet man im Zeitbereich Differenzialgleichungen für Testfunktionen. Dabei nutzt man neben aperiodischen Testfunktionen [Impulsfunktion, Sprungfunktion, Anstiegsfunktion] auch periodische Funktionen wie beispielsweise sinusförmige Signale.Sinusförmiges Signal: $ x_e(t) = \hat{x}_e \cdot sin{\omega t} $Diese Signale ermöglichen es, das dynamische Verhalten im Frequenzbereich zu beschreiben.Wie man mit sinusförmigen ...

3. Frequenzgang

   Frequenzgang > Frequenzgang

   

   ... \cdot e^{j \omega t} \cdot e^{j \rho(\omega)} $Frequenzgang - FormalDer Frequenzgang $ F( j \omega) $ des Übertragungssystems ergibt sich aus dem Quotienten von Ausgangssignal und Eingangssignal:Frequenzgang: $ F ( j \omega) = \frac{x_a(j\omega)}{x_e(j \omega)} $Eingesetzt dann:Frequenzgang: $ F (j \omega) = \frac{\hat{x}_a \cdot e^{j \omega t} \cdot e^{j \rho(\omega)} }{ \hat{x}_e \cdot e^{j \omega t} }$Durch entsprechendes Kürzen erhalten wir letztlich unsere finale Gleichung für ...

4. Frequenzgang aus Differenzialgleichung

   Frequenzgang > Frequenzgang aus Differenzialgleichung

   

   Nun erklären wir Dir, wie man den Frequenzgang aus einer Differenzialgleichung eines Übertragungselements bestimmt. Dabei stellen wir in den kommenden beiden Kurstexten zwei Fälle vor. Frequenzgang einer Differenzialgleichung eines linearen RegelkreiselelementsFrequenzgang einer Differentialgleichung bei Anregung mit harmonischen Schwingungen.Frequenzgang einer Differenzialgleichung eines linearen RegelkreiselelementsWir erinnern uns, die Differenzialgleichung eines linearen Regelkreiselements ...

5. Frequenzgang einer Differenzialgleichung mit harmonischer Anregung

   Frequenzgang > Frequenzgang einer Differenzialgleichung mit harmonischer Anregung

   

   Der Frequenzgang einer Differentialgleichung bei Anregung mit harmonischen Schwingungen wird wie folgt berechnet.In diesem Fall nehmen wir zwei Voraussetzungen an:1. $ \frac{d}{dt} x(t) = j \omega \cdot x(j\omega) $2. $ \int x(t) dt = \frac{1}{j \omega} \cdot x(j \omega) $In Worte gefasst: Der Differenzialoperator in der Differenzialgleichung wird durch $ j \omega $  und der Integraloperator wird durch $ \frac{1}{j \omega} $ ersetzt. Eine dritte Annahme ist: 3. ...

6. Übertragungsfunktion

   Frequenzgang > Übertragungsfunktion

   

   Nun möchten wir die Frequenzgangfunktion aus einer Übertragungsfunktion ermitteln und umgekehrt.Dabei ist der Frequenzgang wie folgt definiert:Frequenzgang: $ F (j\omega) = G(s)|_{s = j\omega} $Die Gleichung besagt, dass der Frequenzgang der Wert der Übertragungsfunktion auf der imaginären Achse ist.Aus diesem Grund ist es zulässig, dass wir das imaginäre Argument des Frequenzgangs $ F (j \omega) $ um einen reellen Wert $ \sigma $ ergänzen.Somit liefert uns das ...

7. Ortskurve

   Frequenzgang > Ortskurve

   

   Neben der regulären Bestimmung des Frequenzgangs hat auch die experimentelle Ermittlung des Frequenzgangs in der Regelungstechnik eine besondere Bedeutung. Hierbei beobachtet man die Reaktion eines Übertragungselements nach einer Aufschaltung eines sinusförmigen Signals.Sinusförmiges EingangssignalSinusförmiges Eingangssignal:$ x_e (t) = \hat{x}_e \cdot sin(\omega t) $Die Reaktion hat normalerweise folgenden Ablauf:Sind die Einschwingvorgänge des Eingangssignals abgeklungen, ...

8. BODE-Diagramm

   Frequenzgang > BODE-Diagramm

   

   ... trägt man den Betrag und die Phase des Frequenzgangs über der Kreisfrequenz auf. AusgangsgleichungenBetrag: $ |(j\omega)| $Phase: $ \rho (\omega) = \rho \{F(j\omega)\} $Frequenzgang: $ F (j \omega) = |(j\omega)|  \cdot e^{j\rho(\omega)} $Bei dieser Vorgehensweise verwendet man einen logarithmischen Maßstab.Eine alternative Bezeichnung des BODE-Diagramms ist Frequenzkennlinien-Diagramm.  Nachfolgend möchten wir Dir ein paar Vorteile dieser Darstellungsart ...

9. Sprungantwort

   Frequenzgang > Sprungantwort

   

   ... für $ \omega \rightarrow \infty $ der Frequenzgangfunktion gegeben.Dabei ist der Anfangswert der Sprungantwort formal definiert durch:Anfangswert der Sprungantwort: $ x_a(t = 0) = \lim_{\omega \rightarrow \infty} F (j \omega) \cdot x_{e0} $Der Endwert der Sprungantwort lässt sich der mit folgenden Gleichung bestimmen:Endwert der Sprungantwort: $ x_a ( t \rightarrow \infty) = \lim_{\omega \rightarrow \infty} F( j \omega) \cdot x_{e0} $mit $ x_{e0} $ = Sprunghöhe ...