LAPLACE Transformation

Regelungstechnik

Das Kapitel LAPLACE Transformation in unserem Online-Kurs Regelungstechnik besteht aus folgenden Inhalten:

1. LAPLACE Transformation

   LAPLACE Transformation

   

   In diesem Kapitel behandeln wir das für die Regelungstechnik sehr wichtige Thema der LAPLACE-Transformation.Das Video wird geladen...(1rt-laplace-transformation-prinzip) Mit der LAPLACE-Transformation lassen sich Differenzial-und Integralausdrücke in algebraische Ausdrücke umwandeln. Der hauptsächliche Vorteil besteht darin, dass anstelle einer Differenzialgleichungen eine algebraische Gleichung gelöst werden muss. Dabei werden die bekannten Anfangsbedingungen die innerhalb ...

2. Mathematische Transformation

   LAPLACE Transformation > Mathematische Transformation

   

   Sinn und Zweck von Transformationen bestehen in der Mathematik hauptsächlich darin, Berechnungen zu vereinfachen. Dies ist auch in der Regelungstechnik der Fall.Das Video wird geladen...(1rt-laplace-transformation-mathematisch) Die Vereinfachung der Berechnung durch Transformation ist dadurch gegeben, dass Rechenoperationen höherer Ordnung durch Rechenoperationen niedriger Ordnung ersetzt werden.Eine übliche Transformation ist beispielsweise die Logarithmierung. So ist es möglich ...

3. Original- und Bildbereich

   LAPLACE Transformation > Mathematische Transformation > Original- und Bildbereich

   

   Man bezeichnet den Bereich in dem eine mathematische Operation durchgeführt wird als Originalbereich. Transformiert man nun eine gegebene Differenzialgleichung, so wird diese im Bildbereich abgebildet und stellt nun eine einfache algebraische Gleichung dar. Denn im Bildbereich wird eine entsprechende Rechenoperation niederer Ordnung vorgenommen. Zu diesem Zeitpunkt liegt lediglich ein Zwischenergebnis vor, das es zum Ende wieder in den Originalbereich zurück zu transformieren gilt, um ein ...

4. LAPLACE-Transformation

   LAPLACE Transformation > LAPLACE-Transformation

   

   Im vorherigen Kurstext hast Du bereits die komplexe Bildvariable $ s$ kennengelernt. Sie ist besonders wichtig für die LAPLACE-Transformation, weil mit ihr erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.LAPLACE-Transformation:Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert ...

5. LAPLACE-Rücktransformation

   LAPLACE Transformation > LAPLACE-Rücktransformation

   

   Um nun wieder die Zeitfunktion $ f(t) $ ermitteln zu können, verwenden wir ausgehend von der LAPLACE-Transformation $ f(s)$ eine komplexe Umkehrformel, die LAPLACE-Rücktransformation. Die LAPLACE-Rücktransformation wird formal beschrieben durch:LAPLACE-Rücktransformation:        $ f(t) = \frac{1}{2 \; \pi \; j} \oint f(s) \cdot e^{st} \; ds = L^{-1} \{f(s) \}$Achte bei der Rücktransformation darauf, dass Du den geschlossenen Integrationsweg ...

6. Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation

   LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation

   

   In den meisten Fällen entnimmt man die Angaben zur Transformation und Rücktransformation Tabellenblättern. Wir möchten Dir nun in den folgenden Kurstexten Rechenregeln vorstellen mit denen Du Transformationspaare bilden können, die nicht in Tabellen aufgeführt sind.1. Linearität mit dem Verstärkungsprinzip und dem Überlagerungsprinzip2. Verschiebungssätze3. Ähnlichkeitssatz4. Differenziationssatz und Integrationssatz5. Faltungsatz6. Grenzwertsätze7. ...

7. Verstärkungsprinzip, Überlagerungsprinzip

   LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Verstärkungsprinzip, Überlagerungsprinzip

   

   Das Verstärkungsprinzip und das Überlagerungsprinzip lässt sich in Bezug auf die LAPLACE-Transformation anwenden, da die LAPLACE-Transformation selbst linear ist.Aus diesem Zusammenhang ergeben sich die nachfolgenden Rechenregeln:Verstärkungsprinzip:     $ L  $ { $ k \cdot f(t)$}$ = k \cdot L ${ $f(t)$}$ = k \cdot f(s) $Überlagerungsprinzip:    $ L ${$ f_1(t) \pm f_2(t) $}$ = L${$f_1(t)$}$ \pm L${$f_2(t)$}$ = f_1(s) \pm f_2(s) $Wir werden diese Gleichungen ...

8. Verschiebesätze, Dämpfungssatz

   LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Verschiebesätze, Dämpfungssatz

   

   ... x_e(t) = f(t - T) $ wobei $ f(t) = E(t) $LAPLACE Transformation  $ \rightarrow$$ x_e(s) = L \{ f( t - T) \} = e^{- T s} \cdot L \{ f(t)\} = e^{- T s} \cdot f(s) = e^{- T s} \cdot \frac{1}{s} $2. Linksverschiebung im Zeitbereich (t + T)Liegt hingegen eine Linksverschiebung im Zeitbereich vor, so ändert sich die Gleichung zu:Verschiebesatz (links): $ L \{ f (t + T) \} = e^{+ T s} \cdot [ f(s) - \int_0^T f(t) \cdot e^{-st} dt] $ für $ T \le 0 $3. Verschiebung im FrequenzbereichBei ...

9. Multiplikationssätze

   LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Multiplikationssätze

   

   Als Ergänzung zum Verschiebungssatz im Frequenzbereich, also dem Dämpfungssatz, möchten wir kurz auf die Multiplikationssätze für eine Transformation von trigonometrischen (sin, cos) und hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh) eingehen.Trigonometrische Funktionen:1. transformierte Sinusfunktion: $ L \{sin(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+j a t} - e^{- j a t}}{2j} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - ja) - f (s + ja)}{2j} $2. transformierte Cosinusfunktion:$ L \{cos(at) \cdot ...

10. Ähnlichkeitssatz

    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Ähnlichkeitssatz

    

    Mit dem Ähnlichkeitssatz kann die unbekannte LAPLACE-Transformierte einer Zeitfunktion unter Kenntnis der LAPLACE-Tranformierten einer anderen Zeitfunktion berechnet werden. Mit dem Ähnlichkeitssatz lassen sich die Bildvariablen berechnen, wenn die Variable $ t $ mit einer Konstanten multipliziert wird. Die Bedingung hierfür ist, dass die Konstante $ a > 0 $ und reell ist.Ähnlichkeitssatz - Formal Die Gleichung für die LAPLACE-Transformierte ist wie folgt:Ähnlichkeitssatz: $ ...

11. Differenziationssatz, Integrationssatz

    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Differenziationssatz, Integrationssatz

    

    In diesem Kurstext stellen wir Dir den Differenziationssatz und den Integrationssatz für eine LAPLACE-Transformation vor. Mit dem Differenziationssatz und dem Integrationssatz werden bei der LAPLACE-Transformation Differenziale und Integrale in eine algebraische Form überführt. DifferenziationssatzMöchte man eine stetige Funktion im Zeitbereich differenzieren, so bewirkt dies auch eine Änderung im Frequenzbereich.Diesen Zusammenhang erfasst der Differenziationssatz:Differenziationssatz: ...

12. Faltungssatz

    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Faltungssatz

    

    Möchte man zwei LAPLACE-Transformierte miteinander multiplizieren, also das Produkt bilden, so rechnet man im Zeitbereich mit dem Faltungsintegral.Das Faltungsintegral ist formal definiert durch:Faltungsintegral: $ L\{ f_1(t) \cdot f_2(t)\} = L\{ \int_0^t f_1(t - \tau) \cdot f_2(\tau)d \tau\} = f_1(s) \cdot f_2(s) $Beispiel:Die LAPLACE-Transformierte $ f(s) hat folgende Form:$ f(s) = f_1(s) \cdot f_2(s) = \frac{1}{s + a} \cdot $die beiden Originalfunktionen sind:$ f_1(t) = L^{-1} \{ \frac{1}{s ...

13. Grenzwertsätze

    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Grenzwertsätze

    

    Möchte man in einem Zeitbereich Grenzwerte berechnen, so kann dies mithilfe von Bildfunktionen im Frequenzbereich durch die Verwendung von Grenzwertsätzen erfolgen.Grenzwertsätze dienen zur Berechnung der stationären Größen von Regelkreisen. Hier kommt speziell dem Endwertsatz eine besondere Bedeutung zu, denn mit ihm lässt sich eine bleibende Regeldifferenz $ x_d (t \rightarrow \infty)$ ermitteln. Dabei sollte jedoch immer gewährleistet sein, dass auch ein ...

14. Periodische Funktionen

    LAPLACE Transformation > Anwendungsarten der LAPLACE-Transformation > Periodische Funktionen

    

    In vielen anwendungstechnischen Prozessen der Regelungstechnik treten Signalverläufe auf, die keinen willkürlichen Verlauf haben sondern zeitlich periodisch sind. Um diese Signalverläufe abbilden zu können, verwendet man periodische Zeitfunktionen $ f(t) $, die eine bestimmte Periodendauer $ T_P $ aufweisen. Die formale Schreibweise hierfür ist:Periodische Zeitfunktion: $ f(t) = f(t + i \cdot T_p) $, wobei $ i = 0, 1, 2, 3, 4,.... $Nun möchten wir eine LAPLACE-Transformation ...