Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung

Regelungstechnik

Das Kapitel Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung in unserem Online-Kurs Regelungstechnik besteht aus folgenden Inhalten:

1. Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung

   Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung

   

   Bisher haben wir Regelkreise immer durch bildliche Darstellungen erfasst, nun werden wir jedoch ein wenig Abstand dazu nehmen und uns den mathematischen Methoden zur Berechnung von Regelkreisen zuwenden. Wir werden dazu nachfolgend zuerst auf die Normierung von Gleichungen eingehen, anschließend thematisieren wir die Linearisierung von Regelkreiselementen. Bei der Linearisierung von Regelkreiselementen behandeln wir die Unterthemen:Definition der LinearitätLinearisierung mit grafischen ...

2. Normierung

   Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Normierung

   

   Die Normierung von Gleichungen dient zur Vereinfachung von regelungstechnischen Verfahren indem normierte dimensionslose Größen eingeführt werden.Eine Normierung bewirkt, dass Größen des Regelungssystems auf charakteristische Werte bezogen werden können.Dies geschieht, in dem man die Größen durch die besagten charakteristischen Werte dividiert und diese damit dimensionslos macht. Zum Einsatz kommen Nenngrößen oder Größen des Arbeitspunktes, ...

3. Linearisierung

   Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Linearisierung

   

   Wir setzen nun unsere Betrachtung von mathematischen Methoden zur Berechnung von Regelkreisen fort, indem wir uns der Linearisierung von Regelkreiselementen zuwenden.Hierzu werden wir in den kommenden Kurstexten zuerst den Begriff Linearität definieren und anschließend Möglichkeiten zur Linearisierung vorstellen. Wir gehen dabei besonders auf die Linearisierung mit grafischen Verfahren und analytischen Verfahren ein und zeigen Dir wie eine Linearisierung bei mehreren Variablen abläuft.Unterthemen ...

4. Definition

   Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Linearisierung > Definition

   

   Der Begriff Linearisierung dürfte Dir bereits aus anderen Studienfächern Deines Studiums bekannt sein. Im Studienfach Regelungstechnik besagt die Linearisierung in Bezug auf Übertragungselemente, dass diese linear sind, wenn sie eines der folgenden Prinzipien erfüllen:VerstärkungsprinzipÜberlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip)VerstärkungsprinzipDas Verstärkungsprinzip ist erfüllt, wenn ein Übertragungselement, welches aus einer Eingangsgröße ...

5. Grafische Verfahren

   Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Linearisierung > Grafische Verfahren

   

   Die Linearisierung nichtlinearer Kennlinien mithilfe von grafischen Verfahren, dürfte Dir bereits aus der höheren Mathematik bekannt sein. In der Regelungstechnik linearisiert man nichtlineare Kennlinien durch die Ermittlung der Steigung. Letzteres erfolgt durch das Anlegen einer Tangente im Arbeitspunkt A.Dieses Vorgehen ist in der folgenden Abbildung dargestellt.Linearisierung im ArbeitspunktDer zugehörige Proportionalbeiwert $ K_P $ stellt die stationäre Verstärkung des ...

6. Analytische Verfahren

   Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Linearisierung > Analytische Verfahren

   

   Lässt sich eine nichtlineare Kennlinie analytisch darstellen - also durch Gleichungen - so ermittelt sich der Proportionalbeiwert $ K_p $ aus dem Differenzialquotienten der nichtlinearen Gleichung. Die auftretenden Größen sind:Zeitveränderliche Größen der Regelstrecke: $ x_e(t) $ und $ x_a(t) $Werte des Arbeitspunktes: $ x_{eA} $ und $ x_{aA} $Minimale Abweichungen von den Arbeitspunktwerten: $ \Delta x_e(t) $ und $ \Delta x_a(t) $.Infolge der Linearisierung wird der ...

7. Mehrere Variablen

   Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Linearisierung > Mehrere Variablen

   

   In unseren vorangegangenen Betrachtungen waren die Signalflusspläne immer so beschaffen, dass eine Eingangsgröße und einer Ausgangsgröße vorlagen. In der Realität ist es aber meistens der Fall, dass mehrere Eingangsgrößen zu einer Ausgangsgröße führen.Nachfolgend siehst du ein Übertragungssystem mit mehreren Eingangsvariablen.Übertragungssystem mit mehreren Eingangsvariablen Dieses Übertragungssystem ...

8. Differentialgleichungen

   Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen

   

   In diesem Kursabschnitt wenden wir uns der Berechnung von Differenzialgleichungen zu. Dabei behandeln wir folgende Unterthemen:Differenzialgleichungen von physikalischen SystemenLösung von linearen Differenzialgleichungen mit Überlagerung von TeillösungenLösung einer homogen DifferenzialgleichungPartikulare Lösung einer Differenzialgleichung

9. Physikalische Systeme

   Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Physikalische Systeme

   

   Wie Du bereits weißt, wird der Zusammenhang zwischen einer Eingangsgröße und einer Ausgangsgröße in einem Regelungssystem durch eine nichtlineare Differenzialgleichung dargestellt. Die Lösung einer solchen Gleichung ist jedoch meist sehr aufwendig.Im Rahmen dieses Kurses werden wir daher zur Vereinfachung das System im Arbeitspunkt untersuchen, womit die Linearisierung der Differenzialgleichungen stark vereinfacht wird. Als Ergebnis erhalten wir eine lineare Differenzialgleichung ...

10. Lösung linearer Differenzialgleichungen

    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen

    

    In diesem Abschnitt behandeln wir folgende Themen:1. Lösung von linearen Differenzialgleichungen durch Überlagerung von Teillösungen2. Lösung einer homogenen Differenzialgleichung3. Partikuläre Lösung einer Differenzialgleichung

11. Überlagerung von Teillösungen

    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Überlagerung von Teillösungen

    

    Bei der Überlagerung von Teillösungen kann die Differenzialgleichung nur dann gelöst werden, wenn die Eingangsgröße $ x_e(t) $, sowie die Anfangsbedingungen bekannt sind.Die Anfangsbedingungen sind: $ x_a(0), \frac{dx_a(0)}{dt}, \frac{d^2x_a(0)}{dt^2}, \frac{d^3x_a(0)}{dt^3},....., \frac{d^{n-1}x_a(0)}{dt^{n-1}}$.Die vorliegende Differenzialgleichung ist linear, womit die Gesamtlösung $ x_a(t) $ durch Überlagerung, also Superposition, der Teillösungen ...

12. Homogene Differenzialgleichungen

    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen

    

    Unter den Grundannahmen des vorherigen Textes wenden wir uns jetzt der Lösung der homogenen Differenzialgleichung zu.Im ersten Schritt stellen wir eine homogene Differenzialgleichung auf:Homogene Differenzialgleichung: $ a_n \cdot \frac{d^n x_a}{dt^n} + a_{n-1} \cdot \frac{d^{n-1} x_a}{dt^{n-1}} + a_{n-2} \cdot \frac{d^{n-2} x_a}{dt^{2-1}}+....+ a_{1} \cdot \frac{d^{1} x_a}{dt^{1}}+a_{0} \cdot \frac{d^{0} x_a}{dt^{0}} = 0 $ Der letzte Term auf der linken Seite wird gekürzt ...

13. Besonderheiten

    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Homogene Differenzialgleichungen > Besonderheiten

    

    In Ergänzung zum vorherigen Kurstext gehen wir nochmals kurz auf die Besonderheiten im Zusammenhang mit homogenen Differenzialgleichungen ein.In physikalischen Systemen sind die Koeffizienten $ a_i $ der charakteristischen Gleichung reell.Wenn komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung auftreten, so müssen die Nullstellen $ \alpha_i $ bei paarweiser Konjugation komplex sein:$ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+ .... + a_1 \cdot \alpha ...

14. Partikulare Lösung einer Differenzialgleichung

    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Partikulare Lösung einer Differenzialgleichung

    

    Wir haben bereits die erste Teillösung der Gesamtlösung der Differenzialgleichung bestimmt und werden nun die zweite Teillösung, also die partikuläre Lösung thematisieren. Wie Sie in in einem früheren Kurstext erfahren haben, setzt sich die Gesamtlösung aus einer homogenen und einer partikulären Lösung der Differenzialgleichung zusammen. Die bekannte Gleichung ist:$ x_a(t) = x_{ah} (t) + x_{ap} (t) $Die partikulare Lösung der Differenzialgleichungen ...

15. Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL

    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Differentialgleichungen > Lösung linearer Differenzialgleichungen > Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL

    

    Bevor wir nun mit unserer Beispielaufgabe beginnen, fassen wir kurz unsere bisherigen Erkenntnisse zusammen:Eine Differenzialgleichung stellt den Zusammenhang zwischen der Eingangsgröße und der Ausgangsgröße eines regelungstechnischen Übertragungselements her. Die Lösung der Differenzialgleichungen erfolgt durch die Überlagerung der Teillösungen $ x_{ah} (t) $ und $ x_{ap}(t) $.Nachfolgend siehst Du die schematische Darstellung einer Widerstand-Kondensator-Schaltung, ...