Technische Mechanik 3: Dynamik

Das Kapitel Kinematik eines Massenpunktes in unserem Online-Kurs Technische Mechanik 3: Dynamik besteht aus folgenden Inhalten:

  1. Kinematik eines Massenpunktes
    Kinematik eines Massenpunktes
    Überblick über das Kapitel Kinematik
    ... diesem Kapitel wird zunächst die Kinematik eines Massenpunktes betrachtet. Die Kinematik betrachtet ausschließlich die geometrischen Aspekte der Bewegung ohne die Ursache der Bewegung (Kräfte) zu untersuchen. Im Folgenden wird auf die Bewegung eines Massenpunktes eingegangen. Die Kinematik beschreibt dabei die Bewegung des Punktes. Hierzu ist es wichtig die Lage des Massenpunktes, die Geschwindigkeit sowie Beschleunigung beschreiben zu können.In den folgenden Abschnitten ...
  2. Einführungstext
    Kinematik eines Massenpunktes > Einführungstext
    Begrüßungsvideo
    Der Kurs Dynamik ist der letzte Teil der technischen Mechanik. Im ersten Teil - der Statik - lag die Betrachtung auf der Bestimmung von Kräften, welche auf starre Körper wirken. Der zweite Teil der technischen Mechanik - die Elastostatik - beschäftigte sich dann mit der Bestimmung von inneren Spannungen und Verformungen von Körpern durch den Einfluss äußerer Kräfte. Dabei wurden nur statische (ruhende, unbewegte) Körper behandelt. Im Gegensatz dazu beschäftigt ...
  3. Definition: Massenpunkt
    Kinematik eines Massenpunktes > Definition: Massenpunkt
    Als Massenpunkt (auch: Punktmasse) wird in der Physik ein idealisierter Körper bezeichnet. Hierbei stellt man sich die Masse des betrachteten Körpers in seinem Schwerpunkt zentriert vor. Ziel dieser Idealisierung ist die vereinfachte Beschreibung der Bewegung eines Körpers. Dabei wird die Dimensionierung des Körpers vernachlässigt, da diese für die angestellten Untersuchungen belanglos ist. Der Körper wird also ausschließlich bezogen auf seinen Ort und seine ...
  4. Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
    Nachdem nun der Massenpunkt eingeführt worden ist, soll innerhalb der Kinematik die Bewegung des Massenpunktes betrachtet werden. In den folgenden Abschnitten wird zunächst die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Raumkurve betrachtet. Es wird gezeigt, wie man den Geschwindigkeitsvektor und die skalare Geschwindigkeit sowie den Beschleunigungsvektor und die skalare Beschleunigung bei dieser allgemeinen Bewegung bestimmt. Danach folgt dann die geradlinige Bewegung eines Massenpunktes. ...
  5. Lage des Massenpunktes
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Lage des Massenpunktes
    Kinematik eines Massenpunktes
    Die Lage eines Massenpunktes $P$ im Raum wird durch seinen Ortsvektor $r$ festgelegt.Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung des Koordinatensystems auf den Punkt $P$.Ändert sich nun die Lage des Punktes $P$ mit der Zeit $t$, so beschreibt $r(t)$ die Bahn des Punktes $P$.Die Änderung des Ortsvektors $\triangle r$ kann angegeben werden durch:$\triangle r =  r(t + \triangle t) - r(t)$. Der Massenpunkt befindet sich zum Zeitpunkt $t$ bei $P$ und zum Zeitpunkt $t + \triangle t$ bei $P'$. ...
  6. Geschwindigkeitsvektor
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Geschwindigkeitsvektor
    Geschwindigkeitsvektor Massenpunkt
    Will man die momentane Geschwindigkeit des Massenpunktes $P$ zu einer bestimmten Zeit $t$ bestimmen, so kann man den Grenzwert der zeitlichen Änderung des Ortsvektors bilden:$\vec{v} = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{r(t + \triangle t) - r(t)}{\triangle t} = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{\triangle r}{\triangle t} = \frac{dr}{dt} = \dot{r(t)}$.Geschwindigkeitsvektor $\vec{v} = \dot{r(t)}$.      Man sieht ganz deutlich, dass der Grenzwert der zeitlichen Änderung des Ortsvektors ...
  7. Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Geschwindigkeitsvektor > Beispiele: Geschwindigkeitsvektor aus Bahnkurve
    Geschwindigkeitsvektor
    In diesem Kurstext stellen wir Ihnen drei Anwendungsbeispiele zum Thema Geschwindigkeitsvektor vor.Beispiel zum GeschwindigkeitsvektorGegeben sei die folgende Bahnkurve: $r(t) = (2t, 4t, 0t)$. Wie sieht der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t = 1$ aus? Der Punkt um den es sich hier handelt ist: $P(2,4,0)$   (Einsetzen von $t = 1$).$ \rightarrow $ Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch die Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:$\vec{v} = \dot{r} = (2,4,0)$. Man weiß ...
  8. Bahngeschwindigkeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit
    Im vorherigen Abschnitt ist der Geschwindigkeitsvektor bestimmt worden. Man kann diesen auch als Skalar angeben, indem man den Betrag des Geschwindigkeitsvektors bildet. Als Ergebnis erhält man den Betrag der Bahngeschwindigkeit, welcher in Länge/Zeit (z.B. m/s) angegeben wird:Betrag der Bahngeschwindigkeit: $|v| = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$  Hierbei handelt es sich um den Betrag der Bahngeschwindigkeit. Die Richtung ist dem Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ ...
  9. Strecke zwischen zwei Punkten
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Strecke zwischen zwei Punkten
    Geschwindigkeit eines Massenpunktes Strecke
    Als Einstieg in die Bestimmung der Bahngeschwindigkeit beschreiben wir zuerst die Strecke zwischen zwei Punkten.Um die Strecke (gerade Strecke) zwischen zwei Punkten $\triangle s$ anzugeben, kann man den Betrag der Änderung des Ortsvektors bilden. Wie im vorherigen Abschnitt bereits erlernt, gibt die Änderung des Ortsvektors $\triangle r$ die Strecke zwischen zwei Punkten an. Dabei handelt es sich aber ebenfalls um einen Vektor. Um einen Vektor in skalarer Schreibweise angeben ...
  10. Bahngeschwindigkeit und Bogenlänge
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Bahngeschwindigkeit und Bogenlänge
    Bahngeschwindigkeit Bogenlänge
    Im vorherigen Kurstext wurde der Betrag der Bahngeschwindigkeit durch Bildung des Betrags des Geschwindigkeitsvektors angegeben. Man kann aber auch die Bahngeschwindigkeit (skalar) aus der Bogenlänge $s$ bestimmen.Die Bogenlänge $s$ ist die Länge einer Kurve.In diesem Fall ist also die Bogenlänge $s$ der gesamte Weg (nicht die Strecke), welcher der Massenpunkt $P$ zurückgelegt hat. Ist diese Bogenlänge $s$ gegeben, so kann die Bahngeschwindigkeit ...
  11. Mittlere Bahngeschwindigkeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Mittlere Bahngeschwindigkeit
    Die mittlere Bahngeschwindigkeit lässt sich bestimmen durch den Quotienten aus der Strecke $\triangle s$ zwischen zwei Punkten und der Zeitdifferenz $\triangle t$ zwischen diesen beiden Punkten:Mittlere Bahngeschwindigkeit: $v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$.                In Bezug auf die mittlere Bahngeschwindigkeit sollten Sie sich folgendes merken:Die mittlere Bahngeschwindigkeit gibt an, wie schnell ...
  12. Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Beispiel: Geschwindigkeit berechnen
    Strecke zwischen den Punkten
    Nun folgt das erste von zwei Anwendungsbeispielen zum Thema:  Geschwindigkeit berechnen. Gegeben sei die folgende Bahnkurve: $r(t) = (2t^2, 5t, 0t)$. Wie groß ist der Betrag der Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten $t=1$, $t=2$ und $t=3$ und wie groß ist die Strecke $\triangle s$ zwischen den Punkten? Wie groß ist die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen dem Punkt für $t=1$ und für $t=3$?1. Bestimmung der GeschwindigkeitEs wird zunächst der Geschwindigkeitsvektor ...
  13. Beispiel: Geschwindigkeit, Boot auf einem Fluss
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Bahngeschwindigkeit > Beispiel: Geschwindigkeit, Boot auf einem Fluss
    Geschwindigkeit Boot auf dem Wasser
    Gegeben sei die obige Grafik. Zu sehen ist ein Fluss mit der Breite $b = 180 m$. Die Fließrichtung des Flusses ist in positive $x$-Richtung. Die Fließgeschwindigkeit des Wassers beträgt $v_w = 1,5 m/s$. Die Fließrichtung des Boots ist in der obigen Grafik durch die gestrichelte Linie angegeben. Das Boot bewegt sich relativ zur Fließgeschwindigkeit des Wassers mit $v_{rel} = 2,5 m/s$.(a) Welchen Vorhaltewinkel muss der Bootsfahrer einhalten, damit dieser den Punkt $C$ ...
  14. Beschleunigungsvektor
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beschleunigung eines Massenpunktes > Beschleunigungsvektor
    Die Beschleunigung ist die Änderung des Bewegungszustandes eines Punktes auf der Bahnkurve.Umgangssprachlich wird als Beschleunigung die Steigerung der Geschwindigkeit verstanden. Bei einer Beschleunigung von $1 m/s^2$ verändert sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um $1 m/s$. Die Beschleunigung ist aber tatsächlich nicht nur eine Zunahme der Geschwindigkeit, sondern jede Änderung der Bewegung, also auch die Abnahme der Geschwindigkeit.Die Berechnung des Beschleunigungsvektors ...
  15. Bahnbeschleunigung
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beschleunigung eines Massenpunktes > Bahnbeschleunigung
    Normalbeschleunigung Tangentialbeschleunigung
    Bildet man aus dem Beschleunigungsvektor den Betrag, so erhält man den Betrag der Tangentialbeschleunigung. Hierbei handelt es sich um einen Skalar:Betrag der Bahnbeschleunigung: $|a_t| = |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$     TangentialbeschleunigungDie Tangentialbeschleunigung (auch Bahnbeschleunigung) lässt sich bestimmen durch die 1. Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ oder durch die 2. Ableitung der Bogenlänge $s$ nach ...
  16. Beispiel: Bahnbeschleunigung
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Beschleunigung eines Massenpunktes > Bahnbeschleunigung > Beispiel: Bahnbeschleunigung
    Gegeben sei die Bahnkurve $r(t) = (5t^2, 6t^3, 4t)$. Wie groß ist der Betrag der Beschleunigung zu den Zeitpunkten $t=2$ und $t=3$? Wie groß ist die mittlere Bahnbeschleunigung zwischen dem Punkt für $t=1$ und für $t=3$?Bestimmung des Betrages der BeschleunigungZunächst wird der allgemeine Beschleunigungsvektor bestimmt, durch die 2. Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:$\vec{a} (t) = (10, 36t, 0)$Um den Betrag der Beschleunigung (skalar) zu bestimmen, muss der ...
  17. Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes
    Geradlinige Bewegung
    ... ThematikDas Video wird geladen...(Teil 1: Kinematik eines Massenpunktes, Bewegungsgleichung, Diagramm)Das Video wird geladen...(Teil 2: Kinematik eines Massenpunktes, Bewegungsgleichung, Diagramm)
  18. Kinematische Grundaufgaben
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben
    Bei den kinematischen Grundaufgaben geht es darum, aus gegebenen kinematischen Größen andere kinematische Größen zu berechnen. Es soll angenommen werden, dass die gegebene Größe nur von einer anderen kinematischen Größe abhängig ist.  Dabei wird in den folgenden Abschnitten die Beschleunigung $a$ als gegeben angenommen und aus ihr dann die anderen kinematischen Größen bestimmt:Es werden die folgenden Fälle betrachtet:$a = ...
  19. Kinematische Diagramme
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Kinematische Diagramme
    Bevor mit den kinematischen Grundaufgaben begonnen wird, werden zunächst die kinematischen Diagramme eingeführt. Diese helfen einen Eindruck von der Bewegung eines Punktes auf der Bahn zu erhalten. Es existieren drei kinematische Diagramme, welche hier für uns von Interesse sind:Das Ort-Zeit-Diagramm,das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm,das Beschleunigung-Zeit-Diagramm.In den folgenden Abschnitten werden die drei Diagramme nacheinander eingeführt und erläutert.
  20. Ort-Zeit-Diagramm
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Kinematische Diagramme > Ort-Zeit-Diagramm
    Ort-Zeit-Diagramm
    Das Ort-Zeit-Diagramm zeigt den Verlauf der Ortskoordinate $s$ (=Bogenlänge) über die Zeit $t$. Da in diesem Kapitel von einer geradlinigen Bewegung ausgegangen wird, gilt $s = x$.In der obigen Grafik ist die Ort-Zeit-Kurve $x = \frac{1}{10} t^2 + \frac{1}{2} t + 2$ verwendet worden. Das Ort-Zeit-Diagramm zeigt den Ort $x$ des Punktes $P$ zu einer bestimmten Zeit $t$. So ist z.B. nach $t = 1$ Zeiteinheit der Punkt $P$ bei 2,6 Längeneinheiten (z.B. Meter) angekommen. Ausgehend ...
  21. Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Kinematische Diagramme > Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
    Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
    Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm zeigt den Verlauf der Geschwindigkeit $v$ über die Zeit $t$. Wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt, kann man die Geschwindigkeit durch Ableitung der Ort-Zeit-Kurve $x$ nach der Zeit $t$ bestimmen:$v = \frac{dx}{dt}$.Für das Beispiel gilt:$x = \frac{1}{10} t^2 + \frac{1}{2} t + 2$.Aus der 1. Ableitung folgt dann:$v = \dot{x} =  \frac{1}{5} t + \frac{1}{2}$.In der obigen Grafik ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm aufgezeigt. Den Geschwindigkeitsverlauf ...
  22. Beschleunigung-Zeit-Diagramm
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Kinematische Diagramme > Beschleunigung-Zeit-Diagramm
    Beschleunigung-Zeit-Diagramm
    Die Beschleunigung ergibt sich bei der expliziten Darstellung durch die 2. Ableitung der Ort-Zeit-Kurve $x$:$x = \frac{1}{10} t^2 + \frac{1}{2} t + 2$.Aus der 2. Ableitung folgt dann:$a = \ddot{x} = \frac{1}{5}$.Hierbei handelt es sich um eine konstante Beschleunigung, d.h. also, dass die Beschleunigung für jede Zeit $t$ gleich ist:Nun folgt ein Kursvideo zur behandelten Thematik:Das Video wird geladen...(Bestimmung des Geschwindigkeitsverlaufes aus dem Beschleunigungsverlauf.)
  23. Gleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung
    In den nun folgenden Abschnitten werden die kinematischen Grundaufgaben betrachtet. Den Anfang macht dabei die gleichförmige Bewegung.Ist die Beschleunigung gleich null, also $a = 0$, so handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.Die Beschleunigung ergibt sich aus der Ableitung der Geschwindigkeit $v$. $a = \dot{v} = \frac{dv}{dt} = 0$.Bestimmung der GeschwindigkeitWill man nun die Geschwindigkeit bei gegebener Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung ...
  24. Beispiel: Gleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung > Beispiel: Gleichförmige Bewegung
    Ort-Zeit-Diagramm bei gleichförmiger Bewegung
    Beispiel: Gleichförmige BewegungDie Person P möchte mit ihrem Motorrad von ihrem Wohnort zur Arbeit fahren. P fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit $v_0 = 50 km/h$ los und benötigt 30 Minuten bis zur Arbeitsstelle. Wieviele Kilometer hat P zurückgelegt?Es kann die obige Formel angewandt werden:$x = x_0 + v_0(t - t_0)$.Der Startpunkt ist hier $x_0 = 0$. Die Person startet also bei 0 km. Die Geschwindigkeit beträgt $v_0 = 50 km/h$. Die Zeitdifferenz beträgt $t ...
  25. Beispiel: Geschwindigkeit, Auto
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmige Bewegung > Beispiel: Geschwindigkeit, Auto
    Ein PKW-Fahrer möchte seinen Tachometer auf Richtigkeit überprüfen, da er schon mehrmals geblitzt worden ist, obwohl er sich laut Tachometer an die Geschwindigkeit gehalten hat. Zwischen den Kilometersteinen 105 km und 110 km zeigt sein Tachometer die konstante Geschwindigkeit von 120 km/h an. Die Strecke wird in 2 Minuten zurückgelegt. Es handelt sich hierbei um eine geradlinige Bewegung, d.h. die Strecke, die das Auto zurücklegt, fällt mit der $x$-Achse zusammen. ...
  26. Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung
    In diesem Abschnitt wird die gleichförmig beschleunigte Bewegung betrachtet. Das bedeutet, dass die Beschleunigung konstant ist:$a = const$  und damit  $a = a_0$.Bestimmung der Geschwindigkeit Die Beschleunigung ergibt sich aus der Ableitung der Geschwindigkeit $v$. $a_0 = \dot{v} = \frac{dv}{dt} = const$Will man nun die Geschwindigkeit bei gegebener Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:$\int_{v_0}^{v} ...
  27. Beispiel: Freier Fall
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Freier Fall
    Gleichförmig beschleunigte Bewegung (freier Fall)
    Der freie Fall stellt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung dar. Dabei besitzt ein frei fallender Körper, welcher sich in Erdnähe befindet, eine gleichmäßige Beschleunigung. Der Luftwiderstand wird hierbei als vernachlässigbar klein angesehen. Diese gleichmäßige Beschleunigung ist die Erdbeschleunigung $ g = 9,81 \frac{m}{s^2}$. Es wird aus einem Heißluftballon in 200m Höhe ein Tennisball fallen gelassen. Der Luftwiderstand soll ...
  28. Beispiel: Senkrechter Wurf
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Gleichförmig beschleunigte Bewegung > Beispiel: Senkrechter Wurf
    Ein Tennisball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 12 m/s$ senkrecht nach oben geworfen. Die $x$-Achse zeigt hierbei von der Anfangslage aus senkrecht nach oben.Welche Höhe erreicht der Ball?Wie lange dauert es, bis der Ball den höchsten Punkt erreicht (Steigzeit)?Wie lange dauert es, bis der Ball wieder zur Ausgangslage zurückkehrt (Wurfzeit)?Die Erdbeschleunigung $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ wirkt dem Wurf entgegen. Diese ist nämlich im Gegensatz zur $x$-Achse nach ...
  29. Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    Ist die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit gegeben und handelt es sich nicht um eine gleichförmige Bewegung bzw. gleichförmig beschleunigte Bewegung, dann spricht man von einer ungleichförmigen Bewegung. Ist der Ort $x$ gegeben, so kann man die Geschwindigkeit durch einmaliges Ableiten und die Beschleunigung durch zweimaliges Ableiten nach der Zeit $t$ bestimmen:$v(t) = \dot{x} = \frac{dx}{dt}$$a(t) = \ddot{x} = \dot{v} = \frac{dv}{dt}$Mittels Integration kann man auch ...
  30. Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit > Beispiel: Ungleichförmige Bewegung
    Linearer Verlauf der Beschleunigung
    Ein Fahrzeug erreicht beim Anfahren aus der Ruhelage in $t_1 = 12 \; s$ eine Geschwindigkeit von $v_1 = 50 \frac{km}{h}$. Die Beschleunigung sinkt linear mit der Zeit von einen Anfangswert $a_0$ auf Null ab.Bestimmen Sie die Anfangsbeschleunigung $a_0$ und den Ort $x_1$, welchen das Fahrzeug in 12 Sekunden zurücklegt!1. Skizze anlegenUm die Anfangsbeschleunigung zu bestimmen, muss zunächst eine Skizze angefertigt werden, damit der lineare Verlauf der Beschleunigung bestimmt werden ...
  31. Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
    In diesem Abschnitt wird die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit betrachtet und gezeigt, wie man daraus die Geschwindigkeit und den Ort in Abhängigkeit von der Zeit bestimmt.Ist die Beschleunigung $a$ als Funktion der Geschwindigkeit gegeben, so ist:$a = a(v)$.Die Beschleunigung lässt sich durch die Ableitung der Geschwindigkeit bestimmen:$a(v) = \frac{dv}{dt}$.Da hier die Beschleunigung abhängig von der Geschwindigkeit ist, stellen wir die Formel nach $dt$ ...
  32. Beispiel: Beschleunigung
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit > Beispiel: Beschleunigung
    Es soll eine Beschleunigung von $a = -5 \frac{1}{s} \cdot v$ gegeben sein. Die Anfangsbedingungen seien $v(t = 0) = v_0$ und $x(t = 0) = x_0$.Bestimmen Sie die den Verlauf von Geschwindigkeit und Ort!Zunächst wird wieder der folgende Zusammenhang dargestellt:$a(v) = \frac{dv}{dt}$.Auflösen nach $dt$, damit $a(v)$ und $dv$ auf einer Seite sind:$dt = \frac{dv}{a(v)}$Anschließend für wir die Integration durch:$\int_{t_0}^t dt = \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$$t - t_0 =  \int_{v_0}^v ...
  33. Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort
    In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man bei einer gegebenen Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort die Geschwindigkeit und den Ort in Abhängigkeit von der Zeit bestimmt.Ist die Beschleunigung $a$ als Funktion des Ortes gegeben, so ist:$a = a(x)$.Die Beschleunigung wird normalerweise bestimmt durch:$a = \frac{dv}{dt}$Erweitert man das Ganze um $dx$ so ergibt sich:$a = \frac{dv}{dt} \frac{dx}{dx}$Das kann man auch schreiben zu:$a = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt}$Dabei ist $\frac{dx}{dt} ...
  34. Beispiel: Funktion des Ortes
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort > Beispiel: Funktion des Ortes
    Beispiel: Beschleunigung als Funktion des OrtesGegeben sei die Beschleunigung $a = -16 x$. Zu der Zeit $t_0 = 0$ sind $x(0) = x_0$ und $v(0) = v_0 = 0$.Aus der Aufgabenstellung ist zu entnehmen, dass die Beschleunigung $a$ abhängig vom Ort $x$ ist:$a = -16x$.Um die Geschwindigkeit $v$ in Abhängigkeit des Ortes zu bestimmen, kann folgende Formel angewandt werden:$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_0^2 +  \int_{x_0}^x a(x) \; dx $Einsetzen von $a = -16x$:$\frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} ...
  35. Beispiel: Abhängigkeit vom Ort
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort > Beispiel: Abhängigkeit vom Ort
    Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort Beispiel
    Beispiel: Beschleunigung in Abhängigkeit vom OrtEs werden Tennisbälle aus der Ruhelage beschleunigt. Die Beschleunigung nimmt entlang des Abschussrohres linear ab. Zu Beginn ($x = 0$) ist die Beschleunigung $a_0$. Am Ende ($x = L$) ist die Beschleunigung $a(x = L) = \frac{1}{2} a_0$. Das Rohr hat die Länge $L$. Wie groß ist die Geschwindigkeit $v$ am Ende des Abschussrohres?Es handelt sich hierbei um eine Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort: $a(x)$. Es handelt sich hierbei ...
  36. Zusammenfassung der kinematischen Grundaufgaben
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Zusammenfassung der kinematischen Grundaufgaben
    In diesem Abschnitt werden die Gleichungen der kinematischen Grundaufgaben aus den vorherigen Abschnitten zusammengefasst:GegebenGeschwindigkeit$a = a_0$          $v = v_0 + a_0 \cdot (t - t_0)$$a = a(t)$           $v = v_0 + \int_{t_0}^t a(t) \; dt$  $a = a(v)$     $t = t_0 +  \int_{v_0}^v \frac{1}{a(v)} \; dv$Nach der Integration kann die Geschwindigkeit durch Umstellen der Gleichung nach $v$ ermittelt werden. ...
  37. Gleichförmige Kreisbewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Gleichförmige Kreisbewegung
    gleichförmige Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit
    Nachdem wir die allgemeine Bewegung eines Massenpunktes im Raum sowie die gradlinige Bewegung betrachtet haben, wollen wir uns als nächstes der Kreisbewegung zuwenden. Eine Kreisbewegung ist die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn. Hierbei wird auch wieder der Massenpunkt eines Körpers betrachtet.In der obigen Grafik ist ein Massenpunkt zu sehen, welcher sich zum Zeitpunkt $t_0$ an dem Winkel $\varphi_0$ befindet und die Geschwindigkeit $\vec{v}$ aufweist, welche tangential ...
  38. Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
    Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
    Ebene Bewegung eines Punktes in Polarkoordinaten
    Bei der ebenen Bewegung eines Massenpunktes wird der Ort bzw. die Lage dieses Punktes durch die $x$ und $y$ Koordinaten angegeben. Es ist häufig sinnvoll für diese ebenen Betrachtungen Polarkoordinaten einzuführen. Hierzu führt man ein ebenes $r, \varphi$-Koordinatensystem ein, dessen Ursprung mit dem des $x,y$-Koordinatensystems zusammenfällt. Der Winkel $\varphi$ wird dabei von der positiven $x$-Achse ausgehend positiv gezählt. Es werden die Basisvektoren $e_r$ ...
  39. Sonderfall: Kreisbewegung
    Kinematik eines Massenpunktes > Ebene Bewegung in Polarkoordinaten > Sonderfall: Kreisbewegung
    Ebene Bewegung Polarkoordinaten Kreisbewegung
    In diesem Abschnitt wird die ebene Bewegung in Polarkoordinaten am Sonderfall der Kreisbewegung aufgezeigt.Der Sonderfall einer ebenen Bewegung ist die Kreisbewegung. Bei dieser ist $r =const$ und der Basisvektor $e_{\varphi}$ besitzt immer die Richtung der Bahntangente im Punkt $P$. In der obigen Grafik sind im ersten Kreis die Basisvektoren $e_r$ (immer in Richtung $r$ ) und $e_{\varphi}$ zu sehen. Beide Basisvektoren stehen orthogonal (im 90°-Winkel) zueinander. Der Winkel $\varphi$ ist ...
Technische Mechanik 3: Dynamik
  • 73 Texte mit 166 Bildern
  • 106 Übungsaufgaben
  • und 24 Videos



einmalig 39,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG