Mehrachsige Spannungszustände

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Das Kapitel Mehrachsige Spannungszustände in unserem Online-Kurs Technische Mechanik 2: Elastostatik besteht aus folgenden Inhalten:

1. Allgemeine Annahmen

   Mehrachsige Spannungszustände > Allgemeine Annahmen

   

   In den bisherigen Betrachtungen wurden Spannungszustände stets an Zugstäben untersucht. Dabei handelte es sich um einachsige Spannungszustände, bei denen die Spannungen nur in Richtung der Belastung $F$ aufgetreten sind. Das bedeutet also, dass nur Normalspannungen $\sigma$ und keine Schubspannungen $\tau$ aufgetreten sind. Allgemeine AnnahmenDa in der Realität jedoch viel kompliziertere Spannungszustände auftreten, gilt es einige allgemeine Annahmen zu treffen. Es wird ...

2. Ebener Spannungszustand

   Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand

   

   Ebene Spannungszustände liegen vor, wenn Spannungen entweder an Oberflächen oder in Scheiben auftreten. Scheiben werden als ebene Flächentragwerke beschrieben, wenn die Dicke klein gegenüber den Abmessungen in der Ebene ist und die äußeren Kräfte und Momente in der Scheibenebene ($x$-$y$-Ebene) angreifen. Da keine Kräfte senkrecht zur Achse auftreten (die Ober- und Unterseite der Scheibe ist also unbelastet), ist die flächenbezogene Normalspannung ...

3. Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation

   Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation

   

   In der nächsten Betrachtung soll herausgefunden werden, welchen Einfluss die Änderung des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel $\alpha $ auf die Spannungskomponenten haben. Drehung des KoordinatensystemsDazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der $x$-$y$-Ebene betrachtet:Spannungskomponenten in der Ebene Die resultierende Spannungsmatrix ist: $\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{x} ...

4. Beispiel 1: Koordinatentransformation

   Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 1: Koordinatentransformation

   

   Gegeben sei folgendes Metallstück mit den dazugehörigen Richtungen der Schub- und Normalspannungen.Schubspannungen und Normalspannungen Die Spannungen seien $\sigma_x = -70 MPa$, $\sigma_y = 35 MPa$ und$ \tau_{xy} = \tau_{yx} = -28 MPa$.Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $65°$ zur $x$-Achse!Wie bereits im Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung erlernt, steht die Normalspannung $\sigma$ senkrecht (also im 90° Winkel) auf ...

5. Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen

   Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Ebener Spannungszustand: Zugeordnete Schubspannungen

   

   In diesem Abschnitt soll ausführlich gezeigt werden, dass die Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen gleich sind.Ortsveränderliche SpannungenIn Bezug auf das Gleichgewicht im ebenen Spannungszustand gilt für Scheiben, dass die Spannungen ortsveränderlich sind. Formal werden die Spannungen zu:Ortsveränderliche Spannungen$\sigma_x = \sigma_x (x,y) $$\sigma_y = \sigma_y (x,y) $$\tau_{xy} = \tau_{xy} (x,y) $. Man geht nun davon aus, dass die Spannungskomponenten ...

6. Beispiel 2: Koordinatentransformation

   Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Beispiel 2: Koordinatentransformation

   

   In diesem Abschnitt wird ein weiteres Beispiel zur Koordinatentransformation aufgezeigt.Beispiel: Koordinatentransformation mit unterschiedlichen SchnittrichtungenGegeben sei die obige Scheibe, für welche die Normalspannungen und Schubspannungen für die dort angegebenen Schnittrichtungen a-a und b-b bekannt sind.Bestimmen Sie die Spannungen für den Schnitt c-c!Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich ...

7. Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes

   Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Spannungszustand > Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes

   

   Zug-DruckstabBeim Zug- bzw. Druckstab liegt nur eine Normalspannung $\sigma_x$ vor (für Erläuterung der Grafik siehe Abschnitt Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung):Zug- und Druckstab Die Gleichgewichtsbedingungen unter Berücksichtigung vonGleichgewichtsbedingungen führt zu:$\nearrow: \sigma_{x^*} dA - \sigma_x \cos (\alpha) \cdot dA \cos (\alpha) = 0$$\sigma_{x^*} = \sigma_x \cos^2 (\alpha)$Anwendung von $2 \cos^2 (\alpha) = 1 + \cos (2 \alpha)$$\sigma_{x^*} = ...

8. Hauptspannungen

   Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen

   

   Bevor mit der Bestimmung der Hauptspannungen begonnen werden kann, folgen fünf erklärende Anmerkungen:1. Als Hauptrichtung bezeichnet man eine Normalenrichtung, für die die Schubspannung verschwindet.2. Die zu dieser Hauptrichtung gehörende Normalspannung wird dann als Hauptnormalspannung (oft auch als Hauptspannung) bezeichnet. 3. Die Hauptnormalspannungen sind Extremwerte der Normalspannungen. 4. Für die Extremwerte der Schubspannungen wird im Weiteren der ...

9. Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)

   Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)

   

   Wie in den vorherigen Abschnitten gezeigt, sind die Spannungen $\sigma_{x^*}, \; \sigma_{y^*}$ und $\tau_{x^*, y^*}$ abhängig von der Schnittrichtung, also vom Winkel. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem Winkel, für welchen die Spannungen Extremwerte annehmen.Drehung des Koordinatensystems In diesem Abschnitt werden zunächst die Hauptnormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel $\alpha^*$ Extremwerte annehmen (siehe ...

10. Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)

    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Extremwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)

    

    In diesem Abschnitt wird die Hauptschubspannung aufgezeigt. Diese liegt vor, wenn die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen. Zunächst folgt die Herleitung der Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptschubspannung, danach werden die Hauptschubspannungen hergeleitet. Zum Abschluss werden die benötigten Formeln nochmals zusammengefasst.Herleitung der Hauptrichtung für die HauptschubspannungWie im vorherigen Abschnitt zur Bestimmung der Normalspannungen, erfolgt auch die Berechnung ...

11. Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung

    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung

    

    In diesem Abschnitt werden die in den vorherigen Abschnitten ermittelten Gleichungen für die Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung zusammengefasst.Hauptnormalspannung (Extremwerte der Normalspannung)$ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptnormalspannung$\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$      Es existieren zwei Winkel, ...

12. Beispiel 1: Hauptspannungen

    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 1: Hauptspannungen

    

    Gegeben sei folgendes Metallstück mit den dazugehörigen Richtungen der Schub- und Normalspannungen.Schubspannungen und Normalspannungen Die Spannungen seien $\sigma_x = -50 MPa$, $\sigma_y = 28 MPa$ und$ \tau_{xy} = \tau_{yx} = -23 MPa$.(1) Bestimme die Spannungen bei einem Schnittwinkel von $55°$ zur $x$-Achse!(2) Bestimme die Hauptspannungen (Hauptnormalspannungen) und die Hauptrichtungen!(3) Bestimme die Hauptschubspannungen und die Schnittrichtungen!(1) Spannungen bestimmenWie ...

13. Beispiel 2: Hauptspannungen

    Mehrachsige Spannungszustände > Hauptspannungen > Beispiele: Hauptspannungen > Beispiel 2: Hauptspannungen

    

    Beispiel: Normalspannung Gegeben sei die obige Scheibe, für welche die Normalspannungen und Schubspannungen für die dort angegebenen Schnittrichtungen 1-1 und 2-2 bekannt sind.(a) Bestimmen Sie die Spannungen für den Schnitt 3-3!(b) Bestimmen Sie den Winkel $\beta$ unter welchem bei einem Schnitt 4-4 die Normalspannung betragsmäßig am größten wird. Wie groß ist die Normalspannung dann?Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet ...

14. Mohrscher Spannungskreis

    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis

    

    Mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises lassen sich Normal- und Schubspannungen innerhalb eines belasteten Querschnitts visuell darstellen. Ferner lässt sich am Spannungskreis direkt ablesen, welcher Winkel zur Hauptrichtung mit der größten Hauptspannung zählt. Zunächst wird gezeigt, wie der Mohrsche Spannungskreis gezeichnet wird und die Hauptspannungen und Hauptschubspannungen abgelesen werden. Außerdem wird ausführlich beschrieben, wie die Hauptrichtungen ...

15. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis

    Mehrachsige Spannungszustände > Mohrscher Spannungskreis > Beispiel: Mohrscher Spannungskreis

    

    In diesem Abschnitt folgt ein Beispiel zum Mohrschen Spannungskreis. Ganz unten auf der Seite folgt ein weiteres Beispiel, welches ihr euch als PDF ausdrucken könnt.Beispiel: Mohrscher SpannungskreisGegeben seien die folgenden Spannungen:$\sigma_x = -30 MPa$, $\sigma_y = 20 MPa$ und $\tau_{xy} = -10 MPa$. Zeichne den Mohrschen Spannungskreis und bestimme(1) die Hauptspannungen $\sigma_1$ und $\sigma_2$ sowie die Hauptrichtung $\alpha^*$.(2) Die Hauptschubspannungen,(3) die Hauptrichtungen ...

16. Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen

    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen

    

    In den vorherigen Abschnitten wurde bereits als kinematische Größe die Verschiebung $u$ und die Dehnung $\epsilon = \frac{du}{dx}$ bei einem Zugstab eingeführt. In diesem Abschnitt soll dargestellt werden, wie man die Verformung von räumlichen oder flächenförmigen Körpern beschreiben kann. Es erfolgt zunächst eine allgemeine Darstellung der Verschiebungen und Verzerrungen. Hierbei wird vor allem auf die Verzerrungen eingegangen, welche Dehnungen und Gleitungen ...

17. Verträglichkeitsbedingungen

    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen > Verträglichkeitsbedingungen

    

    Die Verträglichkeitsbedingung bzw. Kompatibilitätsbedingung gewährleistet, dass auftretende Dehnungen [$\epsilon_x , \epsilon_y $] mit Gleitungen [$\gamma_{xy}$}] verträglich sind. Sind beispielsweise Verschiebungen $ u $ und $ v $ bekannt, so können die Dehnungen und Gleitungen nach dem bereits bekannten Schema errechnet werden. VerzerrungenSind jedoch im umgekehrten Fall nur die Verzerrungen [Dehnungen und Gleitungen] bekannt, so lassen sich die Verschiebungen mittels ...

18. Verzerrungstensor

    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Zusammenhang von Verschiebungen und Verzerrungen > Verzerrungstensor

    

    Die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Dehnungen und Gleitungen können auch in einem symmetrischen Verzerrungstensor zusammengefasst werden, welcher den Verzerrungszustand in einem gewählten Punkt vollständig beschreibt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einem Tensor 2. Stufe. Verzerrungszustand in einem PunktDurch die Dehnung $\epsilon_x$ und $\epsilon_y$ sowie die Gleitung $\gamma_{xy} = \gamma_{yx}$ wird der ebene Verzerrungszustand in einem Punkt festgelegt. ...

19. Transformation von Verzerrungskomponenten

    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Transformation von Verzerrungskomponenten

    

    Es ist möglich die Winkelabhängigkeit der Verzerrungskomponenten nach einer Drehung des Bauteils zu bestimmen (siehe Kapitel Ebener Spannungszustand: Koordinatentransformation). Denn es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, weil die Verzerrungen ebenfalls Tensorkomponenten sind. Man ersetzt $\sigma_x$, $\sigma_y$ und $\tau_{xy}$ durch $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\gamma_{xy}$.Dehnungen und Gleitungen - FormelnDie Drehung des Bauteils unter einem bestimmten Winkel ...

20. Hauptdehnungen

    Mehrachsige Spannungszustände > Ebener Verzerrungszustand > Hauptdehnungen

    

    Die Bestimmung der Hauptdehnungen erfolgt analog zur Bestimmung der Hauptspannungen (siehe Kapitel Hauptspannungen).Tranformationsregeln Es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, da beides Tensoren sind. Jeder beliebige Dehnungszustand in einem bestimmten Punkt eines festen Körpers lässt sich durch die Hauptdehnungen bestimmen, die jeweils an einem durch diesen Punkt gelegten Flächenelement angreifen.Die Hauptdehnungen liegen ...

21. Räumlicher Verzerrungszustand

    Mehrachsige Spannungszustände > Räumlicher Verzerrungszustand

    

    Im Gegensatz zur bisherigen Annahme des ebenen Verzerrungszustandes, muss im räumlichen [allgemeinen] Verzerrungszustand der Verschiebungsvektor $ u $ um eine weitere Komponente in z-Richtung erweitert werden. Im Allgemeinen erhält diese Komponente die Kennzeichnung $ w $. Der räumliche Verschiebungsvektor hat dann die Form:$ u = u(x,y,z)e_x + v(x,y,z)e_y + w(x,y,z)e_z $Auch die zugehörigen Verzerrungskomponenten in z-Richtung müssen gebildet werden. Dies stellt jedoch ...

22. Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand

    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand

    

    In diesem Abschnitt wird der ebene Spannungszustand aufgeführt. Ein ebener Spannungszustand in der (x,y)-Ebene bewirkt einen räumlichen Verzerrungszustand (auch: Dehnungszustand). Das bedeutet, dass die Spannungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ die Dehnungen $\epsilon_{xx}$, $\epsilon_{yy}$ und $\epsilon_{zz}$ zur Folge habe. Dies soll im Weiteren gezeigt werden.Eines der Ziele des Hookeschen Gesetzes ist es einen Zusammenhang zwischen statischen Größen [Spannungen] und kinematischen ...

23. Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen

    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand > Hookesches Gesetz: Hauptdehnungen und Hauptspannungen

    

    In diesem Abschnitt werden die Hauptdehnungen und Hauptspannungen für den ebenen Spannungszustand aufgezeigt.HauptdehnungenDie Hauptdehnung für den ebenen Spannungszustand [xy-Ebene] erhält man, indem man $\sigma_1$, $\sigma_2$ in die Dehnungsgleichungen (aus dem vorherigen Abschnitt) einsetzt:$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E}$  $\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E}$.Die Hauptdehnungen sind$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 ...

24. Hookesches Gesetz im ebenen Verzerrungszustand

    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz im ebenen Verzerrungszustand

    

    Beim ebenen Verzerrungszustand treten nur Dehnungen $\epsilon$ in der Ebene auf. Diese ebenen Dehnungen haben einen räumlichen Spannungszustand zur Folge. Ein ebener Verzerrungszustand tritt beispielsweise auf, wenn die Querdehnung von Bauteilen behindert wird. Dies geschieht z.B. durch Einspannungen und Materialzwängungen. Diese Dehnungsbehinderungen führen dann im Allgemeinen zu einer Erhöhung der Spannungen.Beim ebenen Verzerrungszustand [x-y-Ebene] treten Verzerrungen ...

25. Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand

    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand

    

    Der Zusammenhang zwischen Spannung und elastischer Verformung wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben und wurde für den einachsigen Fall bereits im Kapitel Stabbeanspruchungen behandelt. Das Hookesche Gesetz soll im Folgenden auf den räumlichen Fall ausgeweitet werden.Dehnungen im RaumUm die allgemeine Abhängigkeit zwischen Spannungen und Dehnungen zu ermitteln, wird das Hookesche Gesetz für den einachsigen Fall und das Gesetz von Poisson herangezogen und mittels Überlagerungsprinzip ...

26. Hookesches Gesetz mit Wärmedehnungen

    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Hookesches Gesetz für den räumlichen Spannungszustand > Hookesches Gesetz mit Wärmedehnungen

    

    Neben Spannungen kann auch ein Wärmeeinfluss zu Dehnungen im Bauteil führen. Um dies formal zu erfassen, gilt es das Hookesche Gesetz um einen weiteren (thermischen) Term zu ergänzen. Handelt es sich um ein isotropes Material, ist die thermische Dehnung in alle Richtungen des Raumes identisch. Im Folgenden wird das allgemeine Hookesche Gesetz ergänzt und anschließend folgt, wie im vorherigen Abschnitt, eine Auflösung der Gleichungen zu den Spannungen.1. Ergänzen ...

27. Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände

    Mehrachsige Spannungszustände > Hooksche Gesetz für mehrachsige Spannungszustände > Beispiele: Hookesches Gesetz für mehrachsige Spannungszustände

    

    In diesem Abschnitt werden Beispiele zum Hookeschen Gesetz für mehrachsige Spannungszustände aufgeführt. Die Gleichungen aus den vorherigen Kapiteln finden hier ihre Anwendung.Beispiel 1: Hookesches Gesetz im ebenen SpannungszustandEbener SpannungszustandGegeben sei das obige Stück Metall mit $\nu = 0,3$. Die Ausgangsbreite (vor Verformung) betrage $b_0 = 12 mm$, die Ausgangshöhe $h_0 = 5 mm$. Nach der ebenen Belastung hat sich das Bauteil verformt. Die Breite beträgt ...