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Maschinenelemente 1 - Statische Bauteilfestigkeit berechnen

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Maschinenelemente 1

Statische Bauteilfestigkeit berechnen

Die statische Bauteilfestigkeit kann normalerweise aus Materialkennwerten übernommen werden.

Leider gibt es nur für die gängigsten Werkstoffe explizite Angaben zur Belastbarkeit bei verschiedenen Belastungsarten Biegung, Torsion und Zug/Druck. Bei vielen Werkstoffen sind nur die Belastbarkeiten bei Normalspannung, $R_e$ oder $R_{p0,2}$ und / oder $R_m$, bekannt. Normalerweise kann aus diesen Grundwerten mit Faustformeln (siehe hierzu z. B. Roloff/Matek - Maschinenelemente oder die FKM-Richtlinie) der fehlende Wert wie Torsionsfließgrenze oder Biegefließgrenze abgeleitet werden.
Für die Biegefließgrenze werden nach DIN 743 üblicherweise Werte von $\sigma_{bF} = (1...1,3) * R_e\ (oder\ R_p)$ angenommen, für die Torsionsfließgrenze $\tau_{tF} = (1...1,2) * R_e\ (oder\ R_p)$. Wer sicher gehen möchte, setzt hier also immer $R_e$ bzw. $R_{p0,2}$ ein, dann wird das Teil halten.


Die Statische Bauteilfestigkeit $\sigma_{zul}$ bzw. $\tau_{zul}$ wird also wie folgt berechnet:

Bauteilfestigkeit...

  • gegen Fließen bei Normalspannung: $\sigma_{zul} = \sigma_F = f_\sigma * R_e\ (oder\ R_p)$
  • gegen Fließen bei Tangentialspannung: $\tau_{zul} = \tau_F = f_\tau * R_e\ (oder\ R_p)$
  • gegen Bruch bei Normalspannung: $\sigma_{zul} = \sigma_B = f_\sigma * R_m$
  • gegen Bruch bei Tangentialspannung $\tau_{zul} = \tau_B = f_\tau * R_m$

 

Dabei gilt für Stähle:

$f_\sigma = 1$ (für druckbeanspruchte Gussstähle können höhere Werte gelten) und $f_\tau = 0,58$ (für Gussstähle teilweise etwas höher).

Die so ermittelten Werte werden also einfach als $\sigma_{zul}$ bzw. $\tau_{zul}$ in die Berechnung der Sicherheit $S = \dfrac{\sigma_{zul}}{\sigma_{vorh}}$ eingesetzt.

Soll ein vereinfachter statischer Festigkeitsnachweis gerechnet werden, kann die statische Gesamtsicherheit so berechnet werden:
$S = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{\sigma_{vorh}}{\sigma_{zul}}^2+\dfrac{\tau_{vorh}}{\tau_{zul}}^2}}$
Vorab ist zu entscheiden ob jeweils die Festigkeitswerte gegen Fließen oder Bruch verwendet werden und somit die Sicherheit gegen Fließen oder Bruch herauskommt. Als vorhandene Spannungen werden die Maximalwerte der erwarteten Belastungen angesetzt.

Wenn die genaue Auswirkung von Stößen und ähnlichen dynamischen Zusatzbelastungen nicht bekannt ist werden die in $\sigma_{vorh}$ eingehenden Kräfte und Momente mit dem für diese Last passenden Anwendungsfaktor für unregelmäßige Zusatzbelastung $K_A$ multipliziert.

Örtliche plastische Verformung

Man kann beim statischen Tragfähigkeitsnachweis auch noch die plastische Stützzahl $n_p$ berücksichtigen, wenn man sehr knapp auslegen möchte. Diese Zahl berücksichtigt für Bauteile aus zähen Werkstoffen, dass bei Spannungsspitzen z. B. in Kerben die Fließgrenze örtlich überschritten wird und dadurch eine lokale Verfestigung eintritt. Die plastische Stützzahl ist das Verhältnis der tatsächlich ertragbaren Spannung $\sigma_{ertr}$ zur Fließgrenze $R_p$, also $n_{pl} = \frac{\sigma_{ertr}}{R_p}$. Die Ermittlung der Stützzahl beruht auf detaillierten Werkstoffkennwerten und dem Kerbfaktor. Da sie im Alltag wenig relevant ist verweise ich hier auf einschlägige Literatur wie den Roloff/Matek und empfehle, diese "Tragreserven" normalerweise unangetastet zu lassen.