Methode
Um die Wendepunkte zu berechnen, muss man folgende Schritte ausführen:
- die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f''(x) und f'''(x))
- die zweite Ableitung = Null setzen mit f''(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnen
- mit f'''(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR-WP ist.
Dazu wird die Wendestelle in die dritte Ableitung eingesetzt.
Ist f'''(xW) < 0 ist der Wendepunkt ein LR-WP.
Ist f'''(xW) > 0 ist der Wendepunkt ein RL-WP.
ist f'''(xW)=0 ist es kein Wendepunkt. - mit f(xW)=yW den y-Wert des Wendepunktes berechnen.
- Wendepunkt aufschreiben (xW|yW) z.B LR-WP (2|3)
Beispiel
f(x)=-3x³+12x+3
f(x)=-3x³+12x+3
- f'(x)=-9x²+12, f''(x)=-18x, f'''(x)=-18
- 0=-18x Gleichung auflösen: xE=0
- f'''(xW)=f'''(0)=-18, -18 ist kleiner als 0, also ist es ein LR-Wendepunkt
- f(xW)=f(0)=-3$\cdot$0³+12$\cdot$0+3=3
- LR-WP (0|3)
Beispiel
f(x)=2x³+6x²-5
f(x)=2x³+6x²-5
- f'(x)=6x²+12x, f''(x)=12x+12, f'''(x)=12
- 0=12x+12 Gleichung auflösen: xw=-1
- f'''(-1)=12 >0 -> RL-WP
- f(-1)=-1
- RL-WP (-1/-1)
Beispiel
$f(x)=0,5x^4-3x²+1$
$f(x)=0,5x^4-3x²+1$
- f'(x)=2x³-6x, f''(x)=6x²-6, f'''(x)=12x
- 0=6x²-6 Gleichung auflösen: xW1=1, xW2=-1
- f'''(1)=12 >0 -> RL-WP. f'''(-1)=-12 -> LR-WP
- $f(1)=0,5\cdot 1^4-3\cdot 1²+1=-1,5f(-1)=0,5\cdot(-1)^4-3\cdot(-1)²+1=-1,5$
- RL-WP (1|-1,5) und LR-WP (-1|-1,5)
Beispiel
f(x)=x³-6x²+12x-10
f(x)=x³-6x²+12x-10
- f'(x)=3x²-12x+12. f''(x)=6x-12, f'''(x)=6
- 0=6x-12 Gleichung auflösen: xW=2
- f'''(2)=6 >0 -> RL-WP
- f(2)=2³-6$\cdot$2²+12$\cdot$2-10=8-24+24-10=-2
- RL-WP (2|-2)
da auch f´(2)=3 - f'(x)=3x²-12x+12, f''(x)=6x-12,
- f'''(x)=6 $\cdot$ 2²-12 $\cdot$ 2+12=0 ist ist dieser Wendepunkt ein
RL-Sattelpunkt
Mit dem Taschenrechner geht es natürlich schneller. Im nachfolgenden Video wird die Berechnung des Wendepunktes mit dem Classpad 330 gezeigt.
