Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem

XXXXXDie Aufstellung des Entscheidungsbaums soll anhand des folgenden Beispiels dargestellt werden. Es sei das folgende ganzzahlige Maximierungsproblem gegeben:

$f(x_1, x_2) = 10 - x_1 -  2x_2$    $\rightarrow$   min!

u.d.N.

(1) $2x_1 +6 x_2 \le 15 $   

(2) $6x_1 + 4 x_2 \le 21$    

$x_1, x_2 \ge 0$    und ganzzahlig

Es ist sinnvoll das hier gegebene Problem in ein Maximierungsproblem umzuwandeln, da die Nebenbedingungen bereits alle $\le$ enthalten. Demnach wird die Zielfunktion in eine zu maximierende Zielfunktion umgewandelt:

$f(x_1, x_2) = 10 - x_1 -  2x_2$   $\cdot (-1)$

Es ergibt sich das folgende ganzzahlige Maximierungsproblem:

$f(x_1, x_2) = -10 + x_1 + 2x_2$    $\rightarrow$  max!

u.d.N.

(1) $2x_1 +6 x_2 \le 15 $   

(2) $6x_1 + 4 x_2 \le 21$    

$x_1, x_2 \ge 0$    und ganzzahlig

Wahl der oberen Schranke

Es wird zunächst die obere Schranke der Variablen $x_1$ und $x_2$ bestimmt:

Die rechte Seite ist durch die Koeffizienten der Nebenbedingungen geteilt worden. Dabei wird der minimale Wert (abgerundet) als obere Schranke verwendet. Demnach besitzt $x_1$ die obere Schranke $x_{1,max} = 5$ und die Variable $x_2$ die obere Schranke $x_{2,max} = 2$. Als nächstes wird festgelegt, mit welcher Variable begonnen wird. Dazu wird die Prioritätenreihenfolge herangezogen.

Prioritätenreihenfolge beachten

Die 1. Priorität ist nicht anzuwenden, da keine negativen Koeffizienten in der Nebenbedingung gegeben sind.

Die 2. Priorität kann hier angewandt werden, weil negative Koeffizienten in der Zielfunktion gegeben sind. Der negative Koeffizient befindet sich in der 3. Nebenbedingung und beträgt $-2$. Dieser liegt bei $x_2$. Demnach wird $x_2$ gewählt.

Untere Schranken für Restriktionen bestimmen

Es wird nun also mit $x_2$ begonnen. Zunächst müssen die oberen Schranken bestimmt werden (im Gegensatz zu den unteren Schranken beim Maximierungsproblem). Diese werden bestimmt, indem die obere Schranke $x_{2max} = 2$ in die Nebenbedingungen bzw. Restriktionen $R_i$ eingesetzt werden, wobei $x_1$ ebenfalls mit der oberen Schranke eingesetzt wird $x_{1,max} = 5$ gesetzt wird:

$R_1 = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 28 > 10 $   

$R_2 = 2 \cdot 5 + 11 \cdot 2 = 32 > 11$    

$R_3 = 4 \cdot 5 - 2 \cdot 2 = 16 > -1$

Da die Kapazitäten in den Nebenbedingungen nicht unterschritten werden, wenn beide Variablen mit ihren maximalen Werten eingehen, wird der Baum nun nach unten verzweigt und es wird im Weiteren $x_1$ nach und nach variiert, wobei $x_2 = 2$ konstant gehalten wird.

Die Zielfunktion für den ersten Ast wird dabei so bestimmt, dass $x_2 = 2$ eingeht und $x_1 = 0$.

$z = 2 \cdot 0 + 2 = 2$

Die Zielfunktion soll minimiert werden, weshalb hier $x_1$ mit dem kleinst möglichen Wert berücksichtigt wird. Dieser Ast sagt dann aus, dass die Verzweigungen ein Minimum von $z = 2$ erreichen können, nicht aber weniger. Es handelt sich hierbei also um eine untere Schranke. Ziel im Folgenden ist es die Zielfunktion so weit wie möglich zu minimieren. Dabei müssen aber immer die Nebenbedingungen geprüft werden. Die Werte der rechten Seite des Ausgangsproblems dürfen dabei nicht unterschritten werden:

Der Zielfunktionswert der obersten Ebene wird immer mit dem angegebenen $x_2$ und mit dem maximalen $x_{1,max} = 5$ bestimmt. Die Zielfunktion in den Verzweigungen wird immer mit den angegebenen Variablenwerten berechnet. Es ist deutlich zu erkennen, dass hier nur eine Lösung existiert und zwar die Verzweigung Nr. 3. Mit dieser wird der Zielfunktionswert von

$z = 2 \cdot 1 + 2 = 4$

erzielt. Die Variablen nehmen die ganzzahligen Werte $x_1 = 1$ und $x_2 = 2$ an. Alle weiteren Verzweigungen sind unzulässig, da die Restriktionen unterschritten werden. Der letzte Ast Nr. 7 wird gar nicht weiter verfolgt, denn dort wird $x_2 = 0$ betrachtet und in diesem Ast wurden die Restriktionen mit dem maximalen $x_{1,max} = 5$ berechnet. Da hier die Nebenbedingungen bereits nicht erfüllt werden (Restriktion 2 wird unterschritten) muss der Ast nicht weiter verzweigt werden, da $x_1$ nicht überschritten werden darf (maximal 5 Einheiten) und jede Menge von $x_1$ weniger zu noch geringerer Kapazität führt.