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Operations Research 2 - Dualer Simplexalgorithmus

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Operations Research 2

Dualer Simplexalgorithmus

Methode

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Voraussetzung für die Anwendung des dualen Simplex-Verfahrens:

  1. Es muss die Standardform vorliegen (Maximierungsproblem, Kleiner/Gleich-Nebenbedingung, Nichtnegativitätsbedingung)

  2. Die Standardform muss dann in die Normalform überführt werden (Gleichheitsbedingung) mittels Einführung von Schlupfvariablen.

  3. Es liegen negative Koeffizienten auf der Rechten-Seite der Nebenbedingungen vor ($b_i \le 0$).

Das duale Simplexverfahren wird angewandt, wenn das Optimierungsproblem in Standardform vorliegt, aber negative Werte auf der rechten Seite der Nebenbedingungen gegeben sind. Dann nämlich existiert keine zulässige Ausgangslösung. Der duale Simplex wird also angewandt um eine zulässige Ausgangslösung zu bestimmen. Ist diese bestimmt worden kann der primale Simplexalgorithmus angewandt werden um eine optimale Lösung zu bestimmen. 

Merke

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Der duale Simplexalgorithmus wird angewandt, wenn die Werte der rechten Seite der Nebenbedingungen negativ sind. Der primale Simplexalgorithmus wird angewandt, wenn alle Werte der rechten Seite positiv sind. Der duale Simplexalgorithmus führt zu einer zulässigen Ausgangslösung, der primale Simplexalgorithmus zu einer optimalen Lösung. Nach Anwendung des dualen Simplexalgorithmus kann der primale Simplexalgorithmus angewandt werden, um eine optimale Lösung zu erhalten. 

Das Tableau wird analog zum primalen Simplexalgorithmus aufgestellt. Beachtet werden muss in jedem Fall, dass die Werte der Zielfunktion mit den umgekehrten Vorzeichen berücksichtigt werden müssen. Es wird im folgenden aufgezeigt wie die Wahl der Pivotspalte und der Pivotzeile erfolgt. Diese Vorgehensweise unterscheidet sich von der des primalen Simplexalgorithmus.

Wahl der Pivotspalte, Pivotzeile und des Pivotelements

Nachdem das Tableau für das lineare Optimierungsproblem wie im vorherigen Abschnitt aufgestellt worden ist, soll nun die erste Iteration für das duale Simplexverfahren durchgeführt werden. Für jede Iteration müssen die folgenden Schritte durchgeführt werden. Im Gegensatz zum primalen Simplexverfahren beginnt das duale Simplexverfahren mit Wahl der Pivotzeile:

  1. Wahl der Pivotzeile s: Existiert kein $b_i < 0$, so liegt bereits eine zulässige Basislösung vor. Es wird dann das duale Simplexverfahren abbgebrochen und mit dem primale Simplexverfahren fortgesetzt.

    Ansonsten wird diejenige Zeile $s$ mit dem kleinsten negativen Wert der rechten Seite als Pivotzeile gewählt. Sind mehrere Zeilen mit kleinstem negativen Wert gegeben, so kann unter diesen eine beliebige Zeile ausgewählt werden. 

  2. Wahl der Pivotspalte t: Sind in der Pivotszeile aus 1. alle $a_{sj} > 0$, so existiert für das Problem keine zulässige Basislösung. Das gesamte Verfahren wird dann abgebrochen. 

    Ansonsten wird die untere Zeile (Zielfunktionszeile) für alle Elemente $a_{sj} < 0$ der Pivotzeile betrachtet und diejenige Pivotspalte ausgewählt, für die gilt $max\frac{c_j}{a_{sj}}$. Dort wo sich die Pivotspalte und die Pivotzeile schneiden, liegt das Pivotelement $a_{st}$.

  3. Nachdem die Pivotzeile $s$ und die Pivotspalte $t$ sowie das Pivotelement $a_{st}$ bestimmt worden sind, wird nun in einem nächsten Schritt die Basisvariable der Pivotzeile mit der Nichtbasisvarbiablen der Pivotspalte getauscht und ein neues Tableau aufgestellt.

Die Simplexschritte sind hier analog zu denen des primalen Simplexalgorithmus.

Das Verfahren endet, wenn die Werte der rechten Seite alle positiv sind. Dann liegt eine zulässige Ausgangslösung vor. 

Merke

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Der duale und der primale Simplexalgorithmus unterscheiden sich dahingehend, dass diese eine andere Vorgehensweise bei der Wahl der Pivotspalte und Pivotzeile aufweisen.