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Neben der Angabe von Mittelwert und Standardabweichung ist häufig auch die Angabe der statistischen Sicherheit des Mittelwertes von Interesse. Der Mittelwert stellt lediglich eine Schätzung der Messergebnisse dar, welche für eine geringe Anzahl $n$ von Einzelmessungen sehr unsicher ist. Die Statistische Messunsicherheit $u$ ist dabei ein Maß für den mittleren Fehler des Mittelwerts:
Methode
$u = \frac{s}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)} \sum_{n = 1}^n (\overline{x} - x_i)}$
Wir kennen den experimentellen Mittelwert $\overline{x}$, welcher aus den Messgrößen berechnet wird. Der 'wahre' Mittelwert $\mu$ der Verteilung ist uns dagegen nicht bekannt. Dieser fällt auch nicht zwingend mit dem experimentellen Mittelwert zusammen.
Wir können aber ein symmetisches Vertrauensintervall um den Mittelwert $\overline{x}$ angeben, in welchem der wahre Mittelwert $\mu$ (auch: Erwartungswert) mit einer bestimmen Wahrscheinlichkeit enthalten ist.
Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt, so werden die Grenzen des Vertrauensintervalls wie folgt bestimmt:
Methode
$[\overline{x} - t \frac{s}{\sqrt{n}} ; \overline{x} + t \frac{s}{\sqrt{n}}] $
mit
$s$ Standardabweichung der Messreihe
$n$ Anzahl der Messungen
$t$ Parameter (aus Tabelle)
$\overline{x}$ experimenteller Mittelwert
Das obige Verfahren legt die t-Verteilung zugrunde. Der Parameter $t$ kann aus einer Verteilungstabelle abgelesen werden und ist abhängig von der Wahrscheinlichkeit $\gamma$ und der Anzahl der Messwerte $n$. Dabei ist $\gamma$ die Wahrscheinlichkeit, dass sich der wahre Mittelwert innerhalb des angegebenen Intervalls befindet.
Der nachfolgenden Tabelle können einige t-Werte der Student-t-Verteilung entnommen werden:
| n | 68,3 % | 95% | 99,7 % |
| 3 | 1,32 | 4,3 | 19,2 |
| 5 | 1,15 | 2,8 | 6,6 |
| 10 | 1,06 | 2,3 | 4,1 |
| 100 | 1,00 | 2,0 | 3,1 |
Student-t-Verteilung
Die Student-t-Verteilung (kurz: t-Verteilung) wurde 1908 von William Sealy Gosset entwickelt. Hierbei handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Gosset hatte festgestellt, dass die standardisierte Schätzfunktion des Stichprobenmittelwerts normalverteilter erhobener Daten selbst nicht normalverteilt ist, sondern t-verteilt, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist und geschätzt werden muss.
Die Standardabweichung gibt an, wie weit die einzelnen Messwerte im Durchschnitt von dem Mittelwert entfernt sind. Es wird unterschieden zwischen der Stichproben-Standardabweichung, welche mit dem experimentell ermittelten Mittelwert $\overline{x}$ berechnet wird (siehe vorherigen Abschnitt)
Methode
$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{n = 1}^n (\overline{x} - x_i)^2}$ Standardabweichung der Stichprobe
und der Standardabweichung der Grundgesamtheit $\sigma$
Methode
$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{n = 1}^n (\mu - x_i)^2}$ Standardabweichung der Grundgesamtheit
die mit dem wahren Mittelwert $\mu$ berechnet wird. Außerdem liegt der Unterschied im Umfang der erhobenen Daten $n$. In der empirischen Forschung bezeichnet die Grundgesamtheit die Menge aller potentiellen Untersuchungsobjekte für eine bestimmte Fragestellung. Bei einer Stichprobe werden nicht alle potentiellen Untersuchungsobjekte betrachtet, sondern nur ein kleiner Teil. Es wird dann mithilfe der Standardabweichung der Stichprobe die Standardabweichung der Grundgesamtheit geschätzt.
Und genau hier greift die t-Verteilung. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist häufig nicht zu ermitteln, weil nicht alle potentiellen Untersuchungsobjekte befragt werden können. Es wird also eine Stichprobe erhoben. Ist diese normalverteilt, so ist der Mittelwert der Stichprobe $\overline{x}$ nicht normalverteilt, sondern t-verteilt (wobei die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt sein muss). Je größer der Stichprobenumfang $n$, desto weiter nähern sich die Standardabweichungen an.
Merke
Die Standardabweichung gibt an, wie weit die einzelnen Messwerte im Durchschnitt von dem Mittelwert entfernt sind.
Anwendungsbeispiel: Vertrauensintervall
Ein Schraubenhersteller möchte eine Qualitätskontrolle durchführen. Dazu nimmt er eine Stichprobe von 10 Schrauben und untersucht diese hinsichtlich ihres Durchmessers. Die Messungen sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen:
| n | Messung in mm |
| 1 | 3,2 |
| 2 | 3,5 |
| 3 | 2,9 |
| 4 | 3,6 |
| 5 | 3,2 |
| 6 | 3,9 |
| 7 | 3,1 |
| 8 | 3,0 |
| 9 | 2,9 |
| 10 | 2,8 |
Beispiel
Gesucht ist ein Intervall um $\overline{x}$, in dem der wahre Mittelwert $\mu$ mit einer 95-prozentigen Wahrscheinlichkeit liegt!
Der Mittelwert der Stichprobe beträgt:
$\overline{x} = \frac{1}{10} (3,2 + 3,5 + 2,9 + 3,6 + 3,2 + 3,9 + 3,1 + 3,0 + 2,9 + 2,8)$
$\overline{x} = 3,21 = 3,2$
Der Mittelwert der Stichprobe beträgt demnach 3,2 mm. Es wird nur eine Stelle nach dem Komma betrachtet, weil die Messung ebenfalls mit einer Nachkommastelle durchgeführt wurde.
Wir betrachten als nächstes die Standardabweichung der Stichprobe:
$s = \sqrt{\frac{1}{9} [(3,2 - 3,2)^2 + 0,3^2 + 0,3^2 + 0,4^2 + 0^2 + 0,7^2 + 0,1^2 + 0,2^2 + 0,4^2]}$
$s = 0,3$
Die Standardabweichung beträgt also 0,3 mm, d.h. die einzelnen Messwerte weichen im Mittel 0,3 mm vom Mittelwert ab.
Als nächstes wollen wir das Vertrauensintervall bestimmen:
$x = \overline{x} \pm t \frac{s}{\sqrt{n}} $
$x = 3,2 \pm 2,3 \frac{0,3}{\sqrt{10}} = 3,2 \pm 0,2$
Der t-Wert ist der obigen Tabelle entnommen worden. Es liegt eine Messung von $n = 10$ vor und es soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% das Vertrauensintervall angegeben werden: $t = 2,3$.
Das Intervall ergibt sich dann durch:
$x \in [3; 3,4] $
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