Inhaltsverzeichnis
Wir wollen in diesem Abschnitt die mechanischen Wellen einführen.
Merke
Eine mechanische Welle ist die Ausbreitung einer mechanischen Schwingung im Raum.
Beispiele für mechanische Wellen sind zum Beispiel Schalwellen, Erdbebenwellen oder Wasserwellen. Die Wellen können in Längswellen (Longtidunalwellen) und in Querwellen (Transversalwellen) unterschieden werden.
Die folgenden Voraussetzungen für die Ausbreitung mechanischer Wellen müssen gegeben sein:
- Es muss ein System aus schwingungsfähigen Teilchen gegeben sein.
- Die schwinungsfähigen Teilchen des Systems müssen miteinander verbunden sein, also über eine Kopplung verfügen, welche die Schwingung an die Teilchen abgeben kann.
- Mindestens eines der Teilchen muss zur Schwingungen angeregt werden, d.h. es muss Energie zugeführt werden.
Zur Veranschaulichung der Ausbreitung einer machanischen Welle betrachten wir nachfolgend eine Kette mathematischer Pendel die jeweils mit einer Feder miteinander verbunden sind:
Dem System wird Energie zugeführt, indem ein Erreger ein Teilchen des Systems aus seiner Ruhelage zwingt. Aufgrund der Trägheit des Teilches übernimmt das nächste Teilchen etwas zeitversetzt die Schwingung des ersten Teilchens. Die Schwingung wird nun von Teilchen zu Teilchen fortgesetzt, wobei zwischen zwei benachbarten Teilchen die Phasenverschiebung $\delta \varphi$ vorhanden ist. Insgesamt ergibt sich also eine mechanische Welle.
Merke
Führt das von außen angeregte Teilchen eine Sinusbewegung aus, so ergibt sich eine harmonischen Welle.
Die Ausbreitung der Welle hat einen Energietransport zur Folge. Dabei wird die Energie von einem Ort zu einem anderen transportiert, im Gegensatz zur Schwingung bei welcher die Energie zwischen zwei Orten hin-und herschwingt.
Mathematische Beschreibung
Bei der mathematischen Beschreibung zeigen sich zwischen Schwingungen und Wellen deutliche Unterschiede. Im obigen Beispiel muss zur Beschreibung der Schwingung eines mathematischen Pendels sein Auslenkungswinkel $\varphi$ für jeden Zeitpunkt $t$ angegeben werden:
Methode
$\varphi = \varphi(t)$ Schwingung
Für die mathematische Beschreibung von Wellen ist es notwendig den Auslenkwinkel jedes Pendels für jeden Zeitpunkt $t$ anzugeben. Wir führen außerdem die $x$-Achse ein. Diese beginnt beim ersten Pendel und zeigt den Ort $x$ jedes einzelnen Pendels an. Für die Beschreibung von Wellen ist also der Auslenkwinkel $\varphi$ abhängig von der Zeit $t$ jedes Pendels und vom Ort $x$ jedes Pendels.
Methode
$\varphi = \varphi(x,t)$ Welle
In der obigen Grafik ist die Funktion $\varphi(x,t)$ nur für die $x$-Werte definiert, an denen ein Pendel hängt, für die $x$-Werte dazwischen ist die Funktion nicht definiert. Die Problematik bei solchen Funktionen ist, dass sich diese nicht differenzieren lassen (Definitionslücken). Für solche Fälle muss also der Definitionsbereich erweitert werden. Der Definitionsbereich wird also für alle nicht definierten $x$-Wert so erweitert, dass die fehlenden $\varphi$-Werte an diesen Stellen durch Interpolation ermittelt werden. Um das zu zeigen betrachten wir die nachfolgende Grafik:
Zunächst ist in der linken Grafik der Ort $x$ der einzelnen Pendel (Abzisse) und ihr Auslenkwinkel $\varphi$ (Ordinate) Achse zum Zeitpunkt $t = t_0$ sehen. Die Funktion $\varphi(x,t)$ ist nur für die $x$-Werte definiert, an denen sich ein Pendel befindet (Punkte). Mittels Interpolation werden nun die fehlenden $\varphi$-Werte ergänzt. Dies ist in der rechten Grafik veranschaulicht. Von den isolierten Punkten geht man zur durchgezogenen Linie über.
Merke
Bei der Interpolation handelt es sich um einer Art Approximation: Die betrachtete Funktion wird durch die Interpolationsfunktion in den Stützstellen (definierte Punkte) exakt wiedergegeben und in den restlichen Punkten (nicht definierte Punkte) näherungsweise.
