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Physik - Herleitung der Wellengleichung

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Physik

Herleitung der Wellengleichung

Inhaltsverzeichnis

In diesem Abschnitt wollen wir aufzeigen, wie Wellen mathematisch beschrieben werden können. Hierzu betrachten wir die nachfolgende Grafik:

Pendelkette Wellen
Pendelkette

In der obigen Grafik ist eine Pendelkette abgebildet. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass die Schwerkraft auf die einzelnen Massen (also die Gewichtskraft der einzelnen Massen) im Vergleich zu den Federkräften vernachlässigbar klein ist. Wir können also die Fäden an denen die Pendel befestigt sind weglassen:

Pendelkette Wellen
Vereinfachte Pendelkette

Wir betrachten also die obige vereinfachte Pendelkette mit den gleichen Massen $m_i$, die durch dieselben gespannten Federn mit der Federkonstante $k$ miteinander verbunden sind. In der Ruhlage weisen alle Massen denselben Abstand zueinander auf. 

In der oberen Grafik gibt die obere Pendelkette die Ruhelage der Massen $m_i$ an. Diese hängen also völlig unausgelenkt senkrecht nach unten. Die Position der Befestigung fällt also mit der Position der jeweiligen Masse zusammen. Die untere Pendelkette zeigt dann einen ausgelenkten Zustand. Wir betrachten für die Herleitung der Wellengleichung die Auslenkung der drei ersten Massen. Wir bezeichnen die Ruhelage der zweiten Masse mit $x_n$ und ihre Auslenkung in Bezug auf ihre Ruhleage mit $y(x_n,t)$. Uns interessieren außerdem die Auslenkungen der Massen rechts mit $y(x_{n-1},t)$ und links $y(x_{n+1},t)$ von der zweite Massen. 

Im Weiteren wird davon ausgegangen, dass die Auslenkung der Massen in Richtung der Kette (x-Achse) stattfindet.

Merke

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Die Auslenkung $y(x,t)$ gibt die Auslenkung der Masse mit der Ruhelage $x$ zur Zeit $t$ in Richtung der $x$-Achse an.

Herleitung der Wellengleichung

Das Newtonsche Grundgesetz lautet:

$F = m \cdot a$

Dabei kann die Beschleunigung $a$ auch als zweite Ableitung des Weges betrachtet werden. In diesem Fall ist der Weg die $y$-Variable, weil dies die Auslenkung (der Weg) der Masse mit der Ruhelage $x$ zur Zeit $t$ darstellt:

Methode

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$F = m \cdot \ddot{y}(x,t)$                      Newtonsche Grundgesetz


Für die Herleitung der Wellengleichung betrachten wir die Auslenkung der Masse mit der Ruhelage $x_i$:

$F = m \cdot \ddot{y}(x_i,t)$

Ist die Kraft $F = 0$ so wirkt keine Kraft auf die Masse und diese befindet sich in der Ruhelage. Befindet sich die Masse nicht in der Ruhelage, also im ausgelenkten Zustand, so wirkt eine Kraft $F$ auf die Masse. Hierbei handelt es sich um die Federkraft links und rechts von der Masse. Die Federkräfte, die auf die Massen wirken können aus den Dehnungen der Federn berechnet werden.

Wir betrachten als Veranschaulichung die Feder links von der Masse mit der Ruhelage $x_i$. Die Differenz der Auslenkung der Masse mit Ruhelage $x_i$ und der Masse mit der Ruhelage $x_{i-1}$ führt dann auf die zusätzliche Dehnung der Feder zwischen diesen beiden Massen.

Merke

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Die zusätzliche Dehnung der Feder ist also die Differenz aus Enddehnung und Ruhelage der Feder. 

Genauso verfährt man auch mit der Dehnung der Feder rechts von der Masse mit der Ruhelage $x_i$:

Methode

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Zusatzdehnung der linken Feder: $\triangle y = y(x_{i}, t) - y(x_{i-1}, t)$

Zusatzdehnung der rechten Feder: $\triangle y = -[y(x_{i+1},t) - y(x_i,t)]$

Die zusätzliche Dehnung der linken Feder ist positiv (sie vergrößert sich, wird gedehnt). Die zusätzliche Dehnung der rechten Feder ist negativ (sie verkleinert sich, wird gestaucht).

Die Masse mit der Ruhelage $x_i$ wird insgesamt in Richtung der positive $x$-Richtung ausgelenkt. Da die Auslenkung in positive $x$-Richtung erfolgt sind alle Federkräfte die gegen diese Richtung zeigen negativ zu berücksichtigen und alle Kräfte die in Richtung der $x$-Achse zeigen positiv zu berücksichtigen. Die Federkraft wird allgemein berechnet zu:

Methode

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$F = k \cdot y$

mit

$k$ Federkonstante

$y$ Auslenkung

Da die Feder links von der Masse $m_i$ gedeht ist, wirkt auf die Masse $m_i$ eine Zugkraft. Die Federkraft ist also nach links gerichtet, in Richtung der negativen $x$-Achse. Die Feder auf der rechten Seite ist im Gegensatz zur Ruhelage gestaucht, d.h. also hier wirkt auf die Masse $m_i$ eine Druckkraft, die Federkraft ist auch hier in Richtung der negativen $x$-Achse gerichtet. Die obige Formel für die Federkraft geht also negativ in die Berechnungen ein, weil beide Federkräfte nach links (entgegen der Auslenkung) gerichtet sind.

Für die einzelnen Federn mit den obigen Dehnungen gilt dann:

Methode

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$F_{l} = -k \cdot [y(x_{i}, t) - y(x_{i-1}, t)]$

$F_{r} = +k \cdot [y(x_{i+1},t) - y(x_i,t)]$


Wir können nun die gesamte Federkraft auf die Masse mit der Ruhelage $x_i$ bestimmen zu:

Methode

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$F_{ges} = F_l + F_r =  -k \cdot [y(x_{i}, t) - y(x_{i-1}, t)] + k \cdot [y(x_{i+1},t) - y(x_i,t)]$

Diese Gleichung gilt für alle Auslenkzustände der einzelnen Massen. 

Wir können die Gleichung vereinfachen, indem wir die Abstände der Massen $\triangle x$ in ihren Ruhelagen berücksichtigen. Wir erweitern also die Gleichung um diese Abstände:

$F_{ges} = \frac{  -k \cdot [y(x_{i}, t) - y(x_{i-1}, t)] }{\triangle x} \cdot \triangle x +\frac{ k \cdot [y(x_{i+1},t) - y(x_i,t)]}{\triangle x} \cdot \triangle x$

Der Term

$y'(x_i,t) = \frac{y(x_{i}, t) - y(x_{i-1}, t)}{\triangle x}$    Rückwärtsdifferenzquotient

$y'(x_i,t) = \frac{y(x_{i+1},t) - y(x_i,t)}{\triangle x}$       Vorwärtsdifferenzquotient

gibt für  $\triangle x \to \infty$ die Steigung der Auslenkfunktion an. Es ergibt sich dann:

$F_{ges} =   -k \cdot y'(x_i,t) \cdot \triangle x + k \cdot y'(x_{i+1},t) \cdot \triangle x$

Wir klammern aus:

$F_{ges} = k \cdot \triangle x [ y'(x_{i+1},t) - y'(x_i,t)]$

Auch hier können wir wieder den Vorwärtsdifferenzquotienten bilden, indem wir mit $\triangle x$ erweitern und $\triangle x \to \infty$:

$F_{ges} = k \cdot \triangle x^2 \frac{[ y'(x_{i+1},t) - y'(x_i,t)]}{\triangle x}$

Es ergibt sich somit die zweite Ableitung $y''(x_i,t)$:

Methode

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$F_{ges} = k \cdot \triangle x^2 \cdot y''(x,t)$


Wir setzen diese Gleichung in das Newtonsche Grundgesetz ein $F_{ges} = F$:

$F = m \cdot \ddot{y}(x,t)$   

Und erhalten:

Methode

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$\ddot{y}(x,t) = \frac{k \cdot \triangle x^2 \cdot y''(x,t)}{m}$         Wellengleichung

Nachdem im diesem Abschnitt die Wellengleichung hergeleitet wurde, wird im nächsten Absschnitt auf die einzelnen Größen dieser Gleichung eingangen.