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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Ebener Spannungszustand

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Ebener Spannungszustand

Ebene Spannungszustände liegen vor, wenn Spannungen entweder an Oberflächen oder in Scheiben auftreten. Scheiben werden als ebene Flächentragwerke beschrieben, wenn die Dicke klein gegenüber den Abmessungen in der Ebene ist und die äußeren Kräfte und Momente in der Scheibenebene ($x$-$y$-Ebene) angreifen. Da keine Kräfte senkrecht zur Achse auftreten (die Ober- und Unterseite der Scheibe ist also unbelastet), ist die flächenbezogene Normalspannung $\sigma_z = 0 $. Die anderen zwei Normalspannungen sind über die Dicke konstant.

Ebene Spannungszustände
Ebene Spannungszustände

$\sigma_z = 0$

mit

$\tau_{zx} = \tau_{xz} = 0$

$\tau_{zy} = \tau_{yz} = 0$

Merke

Vorheriger Abschnitt: Die Schubspannungen, die ein vertauschtes Indexpaar besitzen sind identisch.

Es bleiben also noch

$\ S = \left(\begin{array}{c} \sigma_x\ \tau_{xy} \\ \tau_{yx} \ \sigma_y \end{array}\right) $

drei unabhängige Größen, da $\tau_{xy} = \tau_{yx}$.

Veranschaulichungsbeispiel

Beispiel

Ebene Spannungszustände: Spannungstensor
Ebene Spannungszustände: Spannungstensor


In der vorliegenden Skizze wird eine Scheibe belastet. Die Scheibe liegt in der $x$-$z$-Ebene. Wie muss der Spannungstensor formal aussehen?

Da die Kräfte nur in der Ebene wirken, ist der Normalenvektor $\sigma_y = 0 $. Die anderen Größen werden in den Spannungstensor aufgenommen:

$\ S = \left(\begin{array}{c} \sigma_x\ \tau_{xz} \\ \tau_{zx} \ \sigma_z \end{array}\right) $.