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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Hookesches Gesetz im ebenen Verzerrungszustand

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Hookesches Gesetz im ebenen Verzerrungszustand

In diesem Abschnitt wird der ebene Verzerrungszustand (auch: ebener Dehnungszustand) betrachtet. Hierbei treten Dehnungen nur in der Ebene auf. Diese ebenen Dehnungen haben einen räumlichen Spannungszustand zur Folge. Ein ebener Verzerrungszustand tritt beispielsweise auf, wenn die Querdehnung von Bauteilen behindert wird. Dies geschieht z.B. durch Einspannungen und Materialzwängungen. Diese Dehnungsbehinderungen führen dann im Allgemeinen zu einer Erhöhung der Spannungen.

Beim ebenen Verzerrungszustand [x-y-Ebene] treten Verzerrungen nur in der Ebene auf. Somit sind

$\epsilon_z = 0, \gamma_{xz} = \gamma_{zx}= 0 $ und $\gamma_{yz} = \gamma_{zy} = 0$. 


Es gelten dann die Dehnungen:

Methode

$\epsilon_x = \frac{1-\nu^2}{E} \cdot (\sigma_x - \frac{\nu}{1 - \nu} \cdot \sigma_y)$

$\epsilon_y = \frac{1-\nu^2}{E} \cdot (\sigma_y - \frac{\nu}{1 - \nu} \cdot \sigma_x)$

$\epsilon_z = 0$

Spannungen im ebenen Dehnungszustand

Die Spannungen im ebenen Dehnungszustand ergeben sich zu:

Methode

$\sigma_x = \frac{E}{(1 + \nu) \cdot (1 - 2\nu)} \cdot [(1 - \nu) \cdot \epsilon_x + \nu \cdot \epsilon_y]$

$\sigma_y = \frac{E}{(1 + \nu) \cdot (1 - 2\nu)} \cdot [(1 - \nu) \cdot \epsilon_y + \nu \cdot \epsilon_x]$

$\sigma_z = \nu \cdot (\sigma_x + \sigma_y)$

Merke

Ein ebener Verzerrungszustand bewirkt immer noch einen räumlichen Spannungszustand.