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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Hookesches Gesetz im ebenen Verzerrungszustand

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Hookesches Gesetz im ebenen Verzerrungszustand

Beim ebenen Verzerrungszustand treten nur Dehnungen $\epsilon$ in der Ebene auf. Diese ebenen Dehnungen haben einen räumlichen Spannungszustand zur Folge. Ein ebener Verzerrungszustand tritt beispielsweise auf, wenn die Querdehnung von Bauteilen behindert wird. Dies geschieht z.B. durch Einspannungen und Materialzwängungen. Diese Dehnungsbehinderungen führen dann im Allgemeinen zu einer Erhöhung der Spannungen.

Beim ebenen Verzerrungszustand [x-y-Ebene] treten Verzerrungen nur in der Ebene auf. Somit sind

$\epsilon_{z} = 0, \gamma_{xz} = \gamma_{zx}= 0 $ und $\gamma_{yz} = \gamma_{zy} = 0$. 

Spannungen im ebenen Dehnungszustand

Die Spannungen beim Auftreten der Dehnungen $\epsilon_x$ und $\epsilon_y$ ergeben sich wie folgt: 

Methode

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$\sigma_x = \frac{E}{(1 + \nu) \cdot (1 - 2\nu)} \cdot [(1 - \nu) \cdot \epsilon_x + \nu \cdot \epsilon_y]$

$\sigma_y = \frac{E}{(1 + \nu) \cdot (1 - 2\nu)} \cdot [(1 - \nu) \cdot \epsilon_y + \nu \cdot \epsilon_x]$

$\sigma_z = \nu \cdot (\sigma_x + \sigma_y)$


Umstellen nach den Dehnungen führt auf:

 $\epsilon_{x} = \epsilon_x = \frac{1-\nu^2}{E} \cdot (\sigma_x - \frac{\nu}{1 - \nu} \cdot \sigma_y)$

$\epsilon_{y} = \epsilon_y = \frac{1-\nu^2}{E} \cdot (\sigma_y - \frac{\nu}{1 - \nu} \cdot \sigma_x)$

$\epsilon_{z} =  \epsilon_z = 0$

Merke

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Ein ebener Verzerrungszustand bewirkt immer noch einen räumlichen Spannungszustand.