Beispiel 2: Torsion bei einem Stab

Anwendungsbeispiel: Torsion beim Stab

Der obige Stab befindet sich in der x,y-Ebene. Dabei fällt die x-Achse mit der Stabachse zusammen:

Der Stab wird aufgrund der Scheibe, welche sich in einer Rechtsdrehung um die x-Achse dreht, auf Torsion beansprucht. Wir stellen uns hierzu die y,z-Ebene vor und die x-Achse aus der Ebene herausragend. Die feste Einspannung verhindert diese Drehung, setzt sich dem Torsionsmoment also entgegen. Das Torsionseinspannungsmoment $M_{tA}$ ist demnach ein linksdrehendes Moment. An der Stelle $B$ ist der Stab drehbar gelagert. Hier wirkt dem Torsionsmoment ein Widerstand durch die Feder an der Stelle $C$ entgegen, der mittels einem Hebel übertragen wird. Der Freischnitt ist wie folgt:

 Das Momentengleichgewicht um die x-Achse (=Stabachse) ergibt demnach (linksdrehende Momente gehen positiv ein):

$\curvearrowleft : M_{tA} - M_t + M_{tB} = 0$

Aus dieser Gleichung kann aber noch kein Moment berechnet werden. Das Torsionsmoment der Scheibe $M_t$ in Bezug auf die Stabachse (x-Achse) wird bestimmt, indem die Kraft $F$ mit dem Hebelarm multipliziert wird. Der Hebelarm der Kraft $F$ zur Stabachse (Scheibe liegt mit Mittelpunkt in der Stabachse) ist der Radius $r$:

GRAFIK

Die Kraft $F$ soll bestimmt werden und die Absenkung des Punktes $C$.

Um die Absenkung des Punktes $C$ bestimmen zu können, müssen wir zunächst den Verdrehwinkel an der Stelle $B$ bestimmen, mit welcher der starre Hebel verbunden ist.

Die  Verdrehung an der Stelle $B$ wird nun bestimmt, indem alle Torsionsmomente um die x-Achse berücksichtigt werden. Wir beginnen am Anfang des Stabes am Lager $A$. Dort wirkt zunächst das linksdrehende Moment $M_{tA}$. Dies berücksichtigen wir zunächst bis zum nächsten Torsionsmomemt $M_t$, also über die Länge $\frac{l}{2}$. Danach kommt das Torsionsmoment $M_t$ hinzu. Allerdings ist dies nun entgegen dem Torsionseinspannmoment $M_{tA}$ ein rechtsdrehendes Moment. Für den 2. Bereich wirkt also zum einen das linksdrehende Torsionseinspannmoment $M_{tA}$ und zusätzlich in entgegengesetzter Richtung das Torsionsmoment $M_t$, es ergibt sich also: $M_{tA} - M_t$ über die Länge $\frac{l}{2}$.

Es wurden nun alle Torsionsmomente bis zur Stelle $B$ berücksichtigt. Die Verdrehung an der Stelle $B$ bestimmt sich nun aus den Momenten und den Längen über die sie wirken. 

$\triangle \varphi = \frac{M_{tA} \cdot \frac{l}{2}}{G \cdot I_p} + \frac{(M_{tA} - M_t) \cdot \frac{l}{2}}{G \cdot I_p}$

Das polare Flächenträgheitsmoment $I_p$ ist hier für beide Bereiche gleich, da der Durchmesser des Stabes überall konstant ist. Wäre dies nicht der Fall, so könnte man nun die beiden Terme nicht zusammenfassen:

Auflösen nach einer der Torsionsmomente und einsetzen in die Gleichgewichtsbedingung (1) ist hier nicht möglich, da alle Torsionsmomente und der Winkel unbekannt sind. Wir würden also zu keinem Ergebnis gelangen. Wir können aber vom starren Hebel ausgehend die Gleichung für die Verdrehung am Punkt $B$ aufstellen:

Die Absenkung des starren Hebels um $s$ aufgrund der minimalen Verdrehnung am Punkt $B$ kann wie folgt festgehalten werden:

Oben ist der starre Hebel gezeigt aus $y,z$-Perspektive. Die Absenkung des Punktes $s$ erfolgt durch die Verdrehung $\varphi$ am Punkt $B$. Berechnet werden kann die Absenkung $s$ mittels Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck. Dabei ist $b$ die Ankathete und $s$ die Gegenkathete. Mittels Tangens ergibt sich dann der Zusammenhang von Winkel, Ankathete und Gegenkathete. Die Gegenkathete $s$ wird gesucht, also nach dieser aufgelöst. Da es sich hierbei um eine Kleinwinkeländerung handelt (Annahme: Winkel bei Torsion sind immer Kleinwinkeländerungen), kann der Tangens durch den Winkel selbst ersetzt werden.

Es gilt also:

a) $s = \varphi \cdot b$

Durch das Torsionseinspannmoment $M_{tB}$ ergibt sich ebenfalls ein Moment an der Stelle $C$, welches mittels der Federkraft $F_C$ berechnet werden kann, indem der Hebelarm (senkrechter Abstand zur Stelle $B$) berücksichtigt wird:

b) $M_{tB} = F_C \cdot b$

Die Federkraft $F_C$ wird berechnet durch die Federkonstante $c$ multipliziert mit der Absenkung $s$:

c) $F_C = c \cdot s$

Es wird nun die Gleichung a) nach dem Winkel $\varphi$ aufgelöst:

$\varphi = \frac{s}{b}$ 

Die Gleichung c) aufgelöst nach $s$ und einsetzen:

c) $s = \frac{F_C}{c}$

$\varphi = \frac{F_C}{c \cdot b}$ 

Als nächstes Gleichung b) auflösen nach $F_C$ und einsetzen:

$F_C = \frac{M_{tB}}{b}$ 

$\varphi = \frac{M_{tB}}{c \cdot b^2}$ 

Für $M_{tB}$ schreiben wir nach (1) $M_{tB} = M_t - M_{tA}$

Diese Gleichung zeigt die Verdrehung am Punkt $B$ vom starren Hebel aus gesehen. Diese Verdrehung ist natürlich gleich der Verdrehung (2), wird also gleichgesetzt:

$ \frac{M_{t} - M_{tA}}{c \cdot b^2} = \frac{(M_{tA} - \frac{1}{2} M_t) \cdot l}{G \cdot I_p}$

Der Winkel $\varphi$ ist demnach eliminiert worden. Es kann nun nach $M_{tA}$ aufgelöst werden:

$ \frac{M_{t}}{c \cdot b^2} - \frac{M_{tA}}{c \cdot b^2} = \frac{M_{tA} \cdot l}{G \cdot I_p} - \frac{\frac{1}{2} M_t \cdot l}{G \cdot I_p}$

$ -\frac{M_{tA}}{c \cdot b^2}  = \frac{M_{tA} \cdot l}{G \cdot I_p} - \frac{\frac{1}{2} M_t \cdot l}{G \cdot I_p} - \frac{M_t}{c \cdot b^2}$

$ - \frac{M_{tA}}{c \cdot b^2} - \frac{M_{tA} \cdot l}{G \cdot I_p} = - \frac{\frac{1}{2} M_t \cdot l}{G \cdot I_p} - \frac{M_t}{c \cdot b^2}$

$ M_{tA} (-\frac{1}{c \cdot b^2} - \frac{l}{G \cdot I_p}) = - \frac{\frac{1}{2} M_t \cdot l}{G \cdot I_p} - \frac{M_t}{c \cdot b^2}$

$\large{ M_{tA} = \frac{- \frac{\frac{1}{2} M_t \cdot l}{G \cdot I_p} - \frac{M_t}{c \cdot b^2}}{-\frac{1}{c \cdot b^2} - \frac{l}{G \cdot I_p}}}$

Einsetzen der Werte:

$d = 40 mm$, $b = 600mm$, $l = 700mm$, $c = 0,65 kN/cm$,

Alles in cm umrechnen. Das polare Flächenträgheitsmoment ist für einen Kreisquerschnitt gegeben zu:

$I_P = \frac{\pi \cdot r^4}{2} = \frac{\pi \cdot (2cm)^4}{2} = 25,13 cm^4$

Dabei ist $r$ der Radius des Stabes.

$\large{ M_{tA} = \frac{- \frac{\frac{1}{2} M_t \cdot 70}{8,1 \cdot 10^3 \cdot 25,13} - \frac{M_t}{0,65 \cdot 60^2}}{-\frac{1}{0,65 \cdot 60^2} - \frac{70}{8,1 \cdot 10^3 \cdot 25,13}}}$

$M_{tA} = \frac{-0,0006 M_t}{-0,0008} = 0,75 M_t$

Aus (1) folgt:

$M_{tB} = M_t - M_{tA} = M_t - 0,75 M_t = 0,25 M_t$

Zur Berechnung von $M_t$ kann die Gleichung für die maximale Schubspannung herangezogen werden:

$\tau_{max} = \frac{M_{tmax}}{W_t}$

Das maximale Torsionsmoment ist hier:

$M_{tA} = 0,75 M_t$

$W_t = \frac{I_p}{R}$  

mit $R$ als Abstand zum Rand des Querschnittes. Der Querschnitt besitzt einen Durchmesser von $d = 40mm$, also $r = 2 cm$. Das polare Flächenträgheitsmoment ist (siehe oben): $25,13 cm^4$.

$W_t = \frac{25,13 cm^4}{2cm} = 12,57 cm^3$

$\tau_{max} = \frac{0,75 M_t}{12,57 cm^3}$

Die zulässige Schubspannung ist laut Aufgabenstellung:

$\tau_{zul} = 5 kN/cm^2$

Es gilt:

$\tau_{zul} \ge \tau_{max}$

$5 kN/cm^2 \ge \frac{0,75 M_t}{12,57 cm^3}$

Aulösen nach $M_t$:

$M_t \le \frac{5 kN/cm^2 \cdot 12,57 cm^3}{ 0,75} 

$M_t \le 83,8 kN cm$