Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt soll zunächst gezeigt werden wie mehrere Kräfte zeichnerisch miteinander verbunden werden. Diese "Verkettung" von Kräften wird auch als Krafteck oder Kräftepolygon bezeichnet. Im ersten Kapitel ist bereits die Vektoraddition aufgezeigt worden. Beim Krafteck werden die Kräfte gemäß grafischer Vektoraddition aneinandergelegt. Es wird mit einer bliebigen Kraft begonnen. Die nachfolgende Kraft wir dann mit dem Anfangspunkt an die Spitze der vorherigen Kraft gelegt. So geht man vor, bis keine Kraft mehr vorhanden ist. Wichtig ist natürlich bei den grafischen Verfahren, dass die Beträge (bzw. Längen) der Kräfte einem Maßstab angepasst werden und diesem Maßstab entsprechend eingezeichnet werden. Das Krafteck kann wie folgt angewandt werden:
- Zur Bestimmung einer resultierenden Kraft: Dazu können mehrere Kräfte ausgewählt und aneinandergereiht werden. Der Anfangspunkt der Resultierenden wird dann an den Anfangspunkt der ersten Kraft und die Spitze der Resultierenden an die Spitze der zueletzt verwendeten Kraft gelegt.
- Zur Bildung eines geschlossenen Kraftecks: Zum Beispiel ist bei einem statisch bestimmten Fachwerk jeder Knoten im Gleichgewicht. Alle an diesen Knoten angreifenden Kräfte bilden also ein geschlossenes Krafteck. Mittels dieses geschlossenen Kraftecks können unbekannte Kräfte bestimmt werden.
Im Nachfolgenden soll gezeigt werden, wie die unbekannten Stabkräfte an einem Fachwerk mittels geschlossenen Krafteck bestimmt werden können.
Sowohl die Längen der Lagerkräfte als auch die Längen der Kräfte $F_1$ bis $F_3$ müssen einem Maßstab angepasst werden. Es wird hier der Maßstab $1 kN = 1cm$ gewählt:
Methode
$B = 1 kN = 2 cm$
$A_v = 2 kN = 4 cm$
$A_h = 1,5 kN = 3cm$
Nachdem die Länge aller gegebenen Kräfte diesem Maßstab entsprechend eingezeichnet worden sind, kann mit der Konstruktion der Kraftecke begonnen werden.
1. Krafteck für jeden Knoten aufstellen:
Es dürfen nur Knoten berücksichtigt werden die maximal zwei unbekannte Stabkräfte aufweisen. Wir wählen zunächst den Knoten $III$ aus. An diesem greifen zwei unbekannte Stabkräfte und eine bekannte Lagerkraft $B$ an. Da sich jeder Knoten in einem statisch bestimmten Fachwerk im Gleichgewicht befindet, muss die grafische Vektoraddition aller drei Kräfte ein geschlossenes Krafteck ergeben.
Die Länge Lagerkraft $B$ wird dem festgelegten Maßstab entsprechend aufgezeichnet ($B = 2 cm$). Die Stabkräfte werden mit ihren Wirkungslinie eingezeichnet.
Merke
Es muss nun versucht werden die Wirkungslinien der Stäbe so aneinander zu reihen, dass sich ein geschlossenes Krafteck ergibt.
In der obigen Grafik ist die Vorgehensweise zur Konstruktion eines Kraftecks zu sehen. Es handelt sich hierbei um eine Art Vektoraddition, nur dass antelle der Richtungen der Stäbe (die unbekannt ist) die Wirkungslinien herangezogen werden. Begonnen wurde mit der Lagerkraft $B$, danach wurde die Wirkungslinie des Stabes $1$ an die Spitze der Lagerkraft gelegt. Danach folgt die Wirkungslinie des Stabes $2$. Diese muss unten an die Wirkungslinie des Stabes $1$ gelegt werden (und nicht oben), weil nur so ein geschlossenes Krafteck resultiert. Falls notwendig dürfen die Wirkungslinien der Stäbe verlängert werden. Nachdem das geschlossene Krafteck resultiert, wird als nächstes die Richtung der Stäbe eingezeichnet. Der Umlaufsinn ist dabei durch die bekannte Lagerkraft $B$ gegeben.
Merke
Da sich jeder Knoten im Gleichgewicht befindet, muss die Spitze jeder Kraft den Anfangspunkt der nachfolgenden Kraft berühren (=Umlaufsinn).
Alternativ wäre auch die Reihenfolge $B-2-1$ denkbar. Das Ergebnis ist dasselbe:
Die Längen der Stäbe $1$ und $2$ können nun gemessen und damit der Betrag im Maßstab $1kN = 2cm$ bestimmt werden. Stab $1$ weist eine Länge von 2,2cm und Stab $2$ eine Länge von 1cm auf:
Methode
$S_1 = 1,1 kN$ (Druckstab)
$S_2 = 0,5 kN$ (Zugstab)
Werden die Stäbe mit ihren ermittelten Richtungen an den Knoten $III$ angebracht, so sieht man deutlich, dass der Stab $1$ ein Druckstab und der Stab $2$ ein Zugstab darstellen.
Das obige Vorgehen wird nun für jeden Knoten separat vorgenommen. Dabei dürfen nur die Knoten betrachtet werden, die maximal zwei unbekannte Stabkräfte aufweisen.
Merke
Bei der Konstruktion des Kraftecks muss darauf geachtet werden, dass am Ende ein geschlossenes Krafteck resultiert. D.h. die zuletzt verwendete Wirkungslinie muss die zuerst verwendete Kraft in ihrem Anfangspunkt schneiden.
Als nächstes wird der Knoten $V$ betrachtet. Die Stabkraft $S_1$ ist bereits bekannt, außerdem sind die Kräfte $F_2$ und $F_3$ gegeben. Dem Maßstab entsprechend werden diese 3 Kräfte als erstes eingezeichnet, danach folgen die Wirkungslinien der Stäbe $3$ und $4$. In der nachfolgenden Grafik ist das Krafteck am Knoten $V$ veranschaulicht. Dabei wurde zunächst die Wirkungslinie $4$ und danach die Wirkungslinie $3$ verwendet:
Das Messen der Stäbe ergibt für $S_3$ 2,3m und für $S_4$ 3cm:
Methode
$S_3 = 1,15 kN$ (Druckstab)
$S_4 = 1,5 kN$ (Druckstab)
Diese Vorgehensweise wird für jeden Knoten vorgenommen, bis am Ende die Beträge und Richtungen aller Stabkräfte bestimmt sind.
Als nächstes wird der Knoten $IV$ betrachtet und für diesen das Krafteck gebildet. Die Kraft $F_1$ und $S_4$ sind bereits bekannt und werden mit ihren maßstäblichen Längen eingezeichnet. Die Wirkungslinien $$ und $6$ werden so aneinander gegelt, dass sich ein geschlossenes Krafteck ergibt:
Die obige Grafik wird verkleinert dargestellt, damit alle Informationen übermittelt werden können. In dem vorher festgelegten Maßstab ergeben sich die Längen 2,3cm für $S_5$ und 4,6cm für $S_6$.
Methode
$S_5 = 1,15 kN$
$S_6 = 2,3 kN$
Zur Bestimmung der letzten Stabkraft $S_7$ wird der Knoten $I$ herangezogen:
Die Abmessung der Stabkraft $S_7$ ergibt 1cm:
Methode
$S_7 = 1 kN$
Mit diesem Verfahren lassen sich Richtung und Größer aller Stäbe bestimmen. Im nachfolgenden Abschnitt wird gezeit, wie alle Stäbe mittels Cremonaplan berechnet werden können ohne für jeden Knoten das Krafteck zu zeichnen.
