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Technische Mechanik 1: Statik

Einzelne parallele Kräfte

Eine Gruppe von parallelen Kräften $\sum F_i $ kann, wie bereits behandelt wurde, durch eine einzige Resultierende $ R $ beschrieben werden, sofern kein Kräftepaar wirkt. Sind alle Kräfte parallel zueinander, so ist die Richtung der Resultierenden $R$ gleich der Richtung der Kräfte. Um ein statisches Gleichgewicht für beispielsweise einen gewichtslosen Träger zu erhalten, ist die Einführung einer Haltekraft $ H $ notwendig. Diese wirkt der Resultierenden direkt entgegen (gleiche Wirkungslinie, aber entgegengesetzte Richtung): 

$\ H = -R $

Die Resultierende ist wie bereits gelernt die Zusammenfassung aller Kräfte. In diesem Abschnitt werden parallele Kräfte betrachtet. Die Resultierende hat demnach die gleiche Richtung wie die Kräfte. Die Haltekraft setzt sich der Resultierenden Kraft entgegen mit gleichem Betrag, aber in entgegengesetzter Richtung. Denn erst dann besitzt der Balken ein statisches Gleichgewicht. Die Haltekraft ist demnach die Zusammenfassung aller Kräfte, allerdings wirkt diese den Kräften entgegen, um den Balken im Gleichgewicht zu halten.

Download: Aufgabe und Lösung zur Haltekraft

Beispiel

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Anwendungsbeispiel: Haltekraft bei parallelen Einzelkräften

Haltekraft
Haltekraft

Beispiel

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In der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 kN$, $F_2 = 20 kN$, $F_3 = 15 kN$ und $F_4 = 18 kN$ abgebildet, die alle parallel zueinander sind und auf den gewichtslosen Balken wirken. Es stellt sich die Frage, wie groß die Haltekraft $H$ sein muss, damit der Balken im Gleichgewicht ist. Es wird insbesondere der Punkt gesucht, in dem die Haltekraft angreifen muss.

Der Betrag der Haltekraft lässt sich mithilfe der vertikalen Gleichgewichtsbedingung berechnen:

$\uparrow R_y = H - \sum F_i  = 0$  

$H = \sum F_i$    

$H = 63 kN$
  

Die Lage der Haltekraft, damit der Balken im Gleichgewicht bleibt, lässt sich mithilfe der Momentengleichgewichtsbedingung berechnen. Dabei wird der beliebige Punkt $A$ als Bezugspunkt gewählt:

$M^{(0)} = x_s \cdot H - \sum x_i F_i = 0$

$x_s = \frac{\sum x_i F_i}{H} $

$x_s = \frac{F_1 \cdot 1 + F_2 \cdot 2 + F_3 \cdot 4 + F_4 \cdot 5}{63} = 3,17$

Die Haltekraft in Höhe von 63 kN muss im Abstand von 3,17 m von dem Bezugspunkt entfernt am Balken angreifen, damit dieser im Gleichgewicht ist.

Zur Überprüfung der Berechnung, kann man die Resultierende heranziehen. Da die Resultierende die Zusammenfassung der einzelnen Kräfte darstellt, muss diese auf der gleichen Wirkungslinie wie die Haltekraft liegen, allerdings in entgegengesetzter Richtung. Denn nur so ist der Balken im Gleichgewicht:

Haltekraft und Resultierende
Haltekraft und Resultierende

Der Betrag der Resultierenden berechnet sich durch:

$R = \sum F_i$

$R = 63 kN$

Die Richtung der Resultierenden berechnet sich durch:

$ \tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x} $

In diesem Beispiel zeigen alle Kräfte vertikal nach unten, demnach zeigt die Resultierende ebenfalls nach unten, d.h. die Resultierende hat einen Betrag von 63 kN und zeigt nach unten. Die Haltekraft hat einen Betrag von 63 kN und zeigt nach oben. Es fehlt noch der Abstand zum Bezugspunkt:

$M^{(A)} = h \cdot R$

$M^{(A)} = -F_1 \cdot 1m - F_2 \cdot 2m - F_3 \cdot 4m - F_4 \cdot 5m = -200 kNm$

$-200 = h \cdot R$

$h = 3,17m$

Damit wurde also gezeigt, dass die Haltekraft die gleiche Wirkungslinie wie die Resultierende besitzt, aber in entgegengesetzter Richtung angreifen muss, damit der Balken im Gleichgewicht ist.

Räumliche Kräftegruppe

Bei der räumlichen Darstellung kann die Haltekraft wie oben dargestellt berechnet werden, nur dass zusätzlich eine dritte Dimension hinzugefügt wird. Angenommen, die Kräfte $\sum F_i $ wirken alle parallel zur z-Achse. Hierdurch erhält man drei Gleichgewichtsbedingungen:

$\sum F_z =  H - \sum F_i = 0 $,

$\sum M_x =  y_s H - \sum y_i F_i = 0$, 

$\sum M_y =  x_s H - \sum x_i F_i = 0$,

Auch hier lässt sich die Haltekraft in den Momentengleichungen durch jeweiliges Einsetzen der oberen Kräftegleichung eliminieren. Somit erhält man die gesuchten Abstände $ x_s $ und $ y_s $ vom Koordinatenursprung zum Schwerpunkt $ S $:

$\ x_s = \frac{\sum x_i F_i}{\sum F_i} $ und

$\ y_s = \frac{\sum y_i F_i}{\sum F_i} $.  

Anwendungsbeispiel: Schwerpunkt im Raum

Schwerpunkt im Raum
Schwerpunkt im Raum

Beispiel

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In der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 N$, $F_2 = 20 N$ und $F_3 = 15 N$ abgebildet, die auf den dreidimensionalen Körper wirken. Sei $x_1 = 3m$, $x_2 = 3m$ und $x_3 = 2m$, sowie $y_1 = 1m$, $y_2 = 3m$ und $y_3 = 5m$. Wie groß ist die Haltekraft $H$ und in welchen Punkt muss diese angreifen?

Als Bezugspunkt wird der Koordinatenursprung gewählt. 

Zur Berechnung des Betrages der Haltekraft wird die Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung herangezogen:

$\uparrow R_z = -F_1 - F_2 - F_3 + H = 0$

$H = F_1 + F_2 + F_3 = 45 N$

Zur Berechnung des Abstandes der Haltekraft vom Bezugspunkt wird die Momentenberechnung für die x- und y- Achse verwendet:

$\sum M_x =  y_s H - \sum y_i F_i = 0$, 

aufgelöst nach $y_s$ ergibt das:

$\ y_s = \frac{\sum y_i F_i}{H} $

$y_s = \frac{10 \cdot 1 + 20 \cdot 3 + 15 \cdot 5}{45} = 3,22 m $

$\sum M_y =  x_s H - \sum x_i F_i = 0$,

aufgelöst nach $x_s$ ergibt das:

$\ x_s = \frac{\sum x_i F_i}{H} $ 

$x_s =  \frac{10 \cdot 3 + 20 \cdot 3 + 15 \cdot 2}{45} = 2,67 m$

Haltekraft und Resultierende im Raum
Haltekraft und Resultierende