Der mit dem System fest verbundene, also der ruhende Beobachter registriert nur Veränderungen der inneren Zustandsgrößen infolge einer Energiezu- oder –abfuhr über die Systemgrenze. Veränderungen der äußeren Zustandsgrößen wie beispielsweise Lage und Geschwindigkeit des Systems im Weltall kann er nicht beobachten. Alle Energien, die über die Systemgrenze transportiert werden finden ihren Niederschlag in einer Änderung der inneren Energie des Systems ΔU. Die Energiebilanz wird dann recht übersichtlich.
Methode
| Allgemeiner Fall | Q12 + WV12 + Wdiss,12 = U2 - U1 | q12 + wV,12 + wdiss,12 = u2 - u1 |
| Modell reversibler Fall | Q12+ WV,12 = U2 - U1 | q12 + wV,12 = u2 - u1 |
| Differentielle Bilanz | dQ + dWV = dU | dq + dwV = du |
Man beachte: Die innere Energie ist eine Zustandsgröße und stellt mathematisch ein vollständiges Differential dar, für das gilt: $\int \limits_{1}^{2} du = u_2 - u_1 δ$
Du erinnerst Dich vielleicht an Deine Mathematikausbildung. Da wurde das vollständige Differential einer Funktion z = z(x,y) behandelt. $dz = (\frac{\partial z}{\partial x})\cdot dx +(\frac{\partial z}{\partial y}) \cdot dy = z_2 - z_1 $
Ganz egal, ob Du zuerst die Strecke dx und danach die Strecke dy zurücklegst, Du erreichst immer dz als Differenz aus Endzustand minus Anfangszustand. Der für die Integration eingeschlagene Weg spielt keine Rolle. Prozessgrößen wie Wärme, Volumenänderungsarbeit und dissipierte Arbeit sind keine vollständigen, sondern unvollständige Differentiale. Hier ist es erforderlich, den für die Integration zu wählenden Weg genau anzugeben. Der Doppelindex „12“ steht genau für den speziellen einen Weg. Um die vollständigen von den unvollständigen Differentialen besser zu unterscheiden, verwendet man in manchen Lehrbüchern anstelle des Differentialoperators „d“ bei unvollständigen Differentialen den Operator „$\partial $“. Studierende werden von dieser in der Mathematik nicht üblichen Darstellung sehr oft auf dem falschen Fuß erwischt. Deshalb sehen wir von der Verwendung von „$\partial $“ ab. Für die Integration einer differentiell geschriebenen Bilanz ist es natürlich angenehmer, wenn diese nur Glieder mit Zustandsgrößen aufweist. Ein erster Schritt in diese Richtung wäre der Ersatz von dwV durch –p(v)·dv.
Methode
$dq=du+p(v) \cdot dv$ oder $dq=c_V dT+p(v) \cdot dv$
Beispiel
Herleitung der Poisson´schen Gleichung p · VK = konst.
Gegeben:
Ein geschlossenes System, in dem eine isentrope Zustandsänderung mit q = konstant oder dq = 0 stattfindet.
Lösung:
Ausgangspunkt erster Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme in differentieller Form:
$ \begin{align} & dq = c_V \cdot dT + p \cdot dv \; \text{mit} \; dq = 0 \Rightarrow \; 0 = c_V \cdot dT + p \cdot dv
\\ \text{aus} \; & p \cdot v = R_i \cdot T \Rightarrow \; p \cdot dv + v \cdot dp = R_i \cdot dT \Rightarrow \; dT = \frac{p \cdot dv}{R_i}+\frac{v \cdot dp}{R_i}
\\ & 0 =c_V(\frac{p \cdot dv}{R_i}+\frac{v \cdot dp}{R_i})+p \cdot dv \Rightarrow 0=c_V \cdot p \cdot dv + c_V \cdot v\cdot dp + R_i \cdot p \cdot dv \end{align}$
mit $R_i = c_p - c_V$ folgt:
$\begin{align} 0 & =c_v \cdot p \cdot dv + c_V \cdot v \cdot dp + c_p \cdot p \cdot dv - c_V \cdot p \cdot dv \;\;\;\vert:(c_V \cdot p \cdot v)
\\ 0 & =v \cdot dp + \frac{c_p}{c_V} p \cdot dv \;\;\text{oder} \;\; 0=\frac{dp}{p}+κ\frac{dv}{v} \Rightarrow \int \limits_{p1}^{p2}\frac{dp}{p} = κ\cdot \int \limits_{v1}^{v2}\frac{dv}{v}
\\ \Rightarrow -(ln \; p_2 - ln \; p_1) & = κ \cdot (ln \; v_2 - ln \; v_1) \Rightarrow -ln(\frac{p_2}{p_1})= κ\cdot ln(\frac{v_2}{v_1})
\\ \Rightarrow ln(\frac{p_1}{p_2}) & = ln (\frac{v_2}{v_1})^{κ}
\\ \Rightarrow \; \frac{p_1}{p_2} & = (\frac{v_2}{v_1})^{κ} \;\; \text{oder} \end{align}$
$p_1v_1^κ = p_2v_2^κ = p \cdot v^κ = \text{konstant}$
