Beispiel
Ein fester Körper bestehe aus einem sehr gut die Wärme leitenden Material. Dieser Körper bewege sich horizontal mit einer Geschwindigkeit c1 in einer Luftatmosphäre und werde durch den Luftwiderstand auf die Geschwindigkeit null abgebremst. Die spezifische Wärmekapazität für konstanten Druck für die Luft sei konstant und betrage 1004,5 $\frac{J}{kg \; K}$. Der Körper sei so klein und so gut leitend, dass er immer überall die Temperatur der Luft an der Staupunktfläche annimmt.
- Welche Temperatur erreicht der Körper, wenn er eine Ausgangstemperatur von 25 °C und eine Geschwindigkeit von 44,8 $\frac{m}{s}$ besitzt?
- Welche Temperatur erreicht der Körper, wenn er eine Ausgangstemperatur von
–56,5 °C und eine Geschwindigkeit von 4480 $\frac{m}{s}$ besitzt?
Gegeben:
cp = 1004,5 $\frac{J}{kg \; K}$
c2 = 0
- c1 = 44,80 $\frac{m}{s}$
t1 = +25,0 °C - c1 = 4480 $\frac{m}{s}$
t1 = –56,5 °C
Hinweise zur Lösung:
Für die thermodynamischen Untersuchungen ist es unerheblich, ob sich ein Körper in ruhender Luft bewegt oder ob ein ruhender Körper von Luft mit entsprechender Geschwindigkeit umspült wird. Von letzterem gehen wir in Übereinstimmung mit den bisher vorgenommenen Festlegungen zum Kontrollraum eines offenen Systems aus.
Die gedachte Kontrollraumgrenze wird so gelegt, dass die Austrittsfläche (Index 2) mit dem Staupunkt des Körpers zusammenfällt. Für die Analyse ist es hier ausreichend von einer auf den Massenstrom bezogenen Energiebilanz auszugehen.
Lösung
$\begin{align} P_{12} & + w_{t,12} = (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} (c_2^2 - c_2^1) + g(z_2 - z_1)
\\ q_{12} & = 0 \;\; \text{adiabates System}
\\ w_{t,12} & = 0 \;\; \text{Strömungsprozess}
\\ g(z_2 - z_1) & = 0 \;\; \text{horizontale Bahn} \end{align} $
$(h_2 - h_1) + \frac{1}{2} (c_2^2 - c_2^1) \rightarrow 2c_p(t_2 - t_1) = (c_2^2 - c_2^1) \rightarrow t_2 = t_1 + \frac{c_2^2 - c_2^1}{2c_p}$
- $t_2 = 25°C + \frac{(44,8 \frac{m}{s})^2 \cdot kg \; K}{2009 kg\frac{m^2}{s^2}} ≈ 26°C$
Dies entspricht etwa der Situation Abschuss einer Kugel mit einer Luftpistole. - $t_2 = -56,5°C + \frac{(4480 \frac{m}{s})^2 \cdot kg \; K}{2009 kg\frac{m^2}{s^2}} ≈ 9933,7 °C$
Dies tritt etwa auf beim Eindringen eines Meteoriten in die Erdumlaufbahn.
Insbesondere das Ergebnis der Aufgabe b) macht deutlich, warum die meisten Meteoriten in der Erdatmosphäre verglühen noch ehe sie den Erdboden erreichen. Auch für die Dimensionierung von Hitzeschildern an Raumflugkörpern sind diese Zusammenhänge zu beachten.
Die hier errechneten Temperaturen t2 nennt man auch dynamische Temperaturen. Entsprechende Effekte sind zu berücksichtigen, wenn man die Temperatur eines strömenden Gases mit einem an einem festen Ort angebrachten Temperaturmessgerät messen will. Eine so gemessene Temperatur ist dann immer auf die statische Temperatur zurückzurechnen. Mit einem feststehenden Temperaturfühler im strömenden Gas misst Du nicht die (statische) Temperatur des Gases, sondern eine Temperatur, die zusätzlich die in Wärme umgewandelte Strömungsenergie berücksichtigt. Die statische Temperatur könntest Du nur mit einem im Gas mit gleicher Geschwindigkeit mitbewegten Thermometer messen.
