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Thermodynamik - offenes System ohne Stoffflüsse über die Systemgrenze

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Thermodynamik

offenes System ohne Stoffflüsse über die Systemgrenze

Beispiel

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Ein Edelstahltopf mit einer Masse von 450 g stehe auf einer elektrischen Herdplatte. Der Topf  weise zu Beginn die gleiche Temperatur wie die Umgebung auf (21 °C) und werde mit 1,5 Liter Wasser von 10 °C aus der Leitung gefüllt. Danach erfolge die Inbetriebnahme der Herdplatte, die über eine Leistungsaufnahme von 1500 W verfüge. Aus Erfahrung sei bekannt, dass 15 % der zugeführten elektrischen Energie als Wärmeverluste an die Umgebung verloren gehen. Die Siedetemperatur des Wassers sei mit exakt 100 °C gegeben.

Folgende Stoffwerte können als bekannt vorausgesetzt werden:

  • mittlere spezifische Wärmekapazität von Wasser:    4,19 $\frac{kJ}{kg \; K}$
  • mittlere spezifische Wärmekapazität von Edelstahl: 0,50 $\frac{kJ}{kg \; K}$
  • Dichte von Wasser bei 10 °C: 999,7 $\frac{kJ}{m^3}$

 

  1. Welche Zeit in Minuten benötigt man, um das Wasser im Topf zum Sieden zu bringen?
  2. Welche Zeit benötigt man unter sonst gleichen Bedingungen, wenn dieser Vorgang unmittelbar danach wiederholt wird? Der Topf weise zu Beginn des Einfüllvorgangs eine einheitliche Temperatur von 90 °C auf!
  3. Welche Masse Wasser kann unter den in (a) gegebenen Bedingungen in 5 Minuten zum Sieden gebracht werden?

 

Gegeben:

Edelstahl:Wasser:
$\begin{align} m_{St} & = 0,45 kg
\\ \overline{c}_{St} & = 0,50 \frac{kJ}{kg \; K}
\\ t_{St} & = 21°C \end{align} $		$\begin{align} V_W & = 1,5l = 0,0015m^3
\\ \overline{c}_{W} & = 0,4,19 \frac{kJ}{kg \; K}
\\ t_W & = 10°C \end{align} $

$\begin{align} P_{el} & = +1500 W
\\ Q & = -0,15 \cdot P_{el} = -225W \end{align} $

Mit den Vorzeichen vor den Prozessgrößen wird ausgedrückt, ob diese dem System zugeführt oder aus diesem abgeführt werden.

Hinweise zur Lösung:

Hier wird ein System betrachtet, dass eine offene Verbindung zur Umgebung hat. Der Umgebungsdruck wird durch den Prozess des Aufheizens bis zur Siedetemperatur nicht beeinflusst, er bleibt konstant. Hieran kannst Du erkennen, dass es sich um ein offenes System handelt.

Der Strich über den Formelzeichen für die spezifische Wärmekapazität bedeutet, dass diese schon über den hier interessieren Temperaturbereich als gemittelter Wert gegeben ist.

Das thermodynamische System ist gleichzeitig ein Mehrkomponentensystem, es besteht aus Wasser und Edelstahl. Insbesondere die Teilaufgabe (b) legt nahe, dass der Topf in das System einzubeziehen ist. Beide Komponenten müssen entsprechend ihrer Massenanteile berücksichtigt werden.

Die Wärmeverluste haben wir hier mit einem pauschalen und über die Zeit konstanten Wert angesetzt. Obwohl dieser Wert die Wirklichkeit ganz gut trifft, ist das eine starke Idealisierung. Tatsächlich hängen die Wärmeverluste vom Temperaturunterschied zwischen Edelstahltopf und einer weitgehend konstanten Umgebungstemperatur ab. Die Wärmeverluste steigen also mit steigender Aufheiztemperatur an.

Die kinetische und potentielle Energie des Arbeitsmittels Wasser spielt keine Rolle, die entsprechenden Glieder in der Energiebilanz lassen wir gleich weg.

Wir vernachlässigen mit der hier vorgenommen Modellbildung, dass ein sehr geringer Teil des Wassers verdampft und in die Umgebung entweicht.

Lösung:

  1. Zeit τ für das Erreichen der Siedetemperatur ts Energiebilanz für das offene System mit 
    $\frac{1}{2}(c_2^2 - c_1^2) = 0$ und $g(z_2 - z_1) = 0$:

    $\begin{align} (\dot Q_{12} + P_{el}) \cdot \tau & = m_W \cdot (h_2 - h_1)_W + m_{St} \cdot (h_2 - h_1)
    \\ & = \rho_W \cdot V_W \cdot \overline{c}_W \cdot (t_S - t_W) + m_{St} \cdot \overline{c}_{St} \cdot (t_S - t_{St})
    \\
    \\ \tau & = \frac{\rho_W \cdot V_W \cdot \overline{c}_W \cdot (t_S - t_W) + m_{St} \cdot \overline{c}_{St} \cdot (t_S - t_{St})}{Q_{12} + P_{el}}
    \\ \tau & = \frac{999,7\frac{kg}{m^3} \cdot 0,0015 m^3 \cdot 4,19 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (100°C - 10°C) + 0,45 kg \cdot 0,5 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (100°C - 21°C)}{-0,225kW + 1,5 kW}
    \\ \tau & = \frac{565,480305 kJ + 17,775 kJ}{1,275 kW} = 457,46 s ≈ 7,6 min. \end{align} $

  2. Zeit τ für das Erreichen der Siedetemperatur ts mit vorgewärmten Topf unter Rückgriff auf die bereits vollzogenen Schritte aus (a)

    $\begin{align} \tau & = \frac{999,7\frac{kg}{m^3} \cdot 0,0015 m^3 \cdot 4,19 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (100°C - 10°C) + 0,45 kg \cdot 0,5 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (100°C - 90°C)}{-0,225kW + 1,5 kW}
    \\ \tau & = \frac{565,480305 kJ + 2,25 kJ}{1,275 kW} = 445,28 s ≈ 7,42 min. \end{align} $

    Man sieht, dass der Einfluss des Gefäßes hier vernachlässigt werden kann. Praktisch kann man davon immer ausgehen, wenn es sich um dünnwandige Gefäße handelt, bei denen zunächst eine geringe Masse nur einen geringen Teil der Wärme aufnimmt und die Temperatur des Gefäßes in erster Näherung immer sofort der des Wassers folgt.


  3. Wassermasse mW, die in 5 Minuten(τ = 300s) zum Sieden erhitzt werden kann

    $\begin{align} (Q_{12} + P_{el}) \cdot \tau & = m_W \cdot \overline{c}_W \cdot (t_S - t_W) + m_{St} \cdot \overline{c}_{St} \cdot (t_S - t_{St})
    \\ m_W & = \frac{(Q_{12} + P_{el}) \cdot \tau - m_{St} \cdot \overline{c}_{St} \cdot (t_S - t_{St})}{\overline{c}_W \cdot (t_S - t_W) }
    \\ m_W & = \frac{(-0,225kW + 1,5 kW) \cdot 457,46s - 0,45kg \cdot 0,5 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (100°C - 21°C)}{4,19 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (100°C - 10°C)}
    \\ m_W & = 0,96718 kg\end{align} $